Ранее нами была изучена операция дифференцирования, сопоставляющая функции ее производную. В этом разделе будет изучаться обратная задача — задача, в которой по производной функции нужно восстановить саму функцию. Оказывается, эти задачи имеют качественное отличие, о котором мы обязательно поговорим.
Для начала, как всегда, договоримся об обозначениях. Впрочем, эти обозначения мы использовали и ранее.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" />
[ NB ]
Всюду ниже под записью $\langle a, b \rangle$ понимается промежуток произвольного вида: отрезок, интервал или полуинтервал.
</aside>
Теперь мы готовы ввести основное определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие первообразной)
Первообразной функции $f$ на промежутке $\langle a, b \rangle$ называется функция $F$ такая, что
$$ F'(x) = f(x), \quad x \in \langle a, b \rangle. $$
</aside>
Сразу приведем несколько примеров.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Функция $F_1(x)=\dfrac{x^3}{3}$ является первообразной для функции $f(x) = x^2$ при $x \in (-\infty, + \infty)$, так как
$$ \left( \frac{x^3}{3} \right)' = x^2, \quad x \in (-\infty, + \infty). $$
Понятно, что предъявленная первообразная не единственна. Так, функции $F_2(x)=\dfrac{x^3}{3}+5$ или $F_3(x)=\dfrac{x^3}{3}-\pi^e$ также будут первообразными для $f$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.
</aside>
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Функция $F(x) = \arctg x$ является первообразной для функции $\dfrac{1}{1+x^2}$ при всех $x \in \mathbb{R}$, так как
$$ \left( \arctg x \right)' = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb R. $$
</aside>
У предложенных функций первообразная оказалась определена на всем множестве $\mathbb R.$ В общем случае это не всегда так. Обратимся к примеру.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Функция $F(x) = \arcctg \dfrac{1}{x}$ является первообразной для функции $\dfrac{1}{1+x^2}$ как при $x > 0$, так и при $x < 0$.
Можно выдвинуть и такое утверждение: семейство функций
$$ \arcctg \frac{1}{x} + \begin{cases}c_1, & x < 0, \\ c_2, & x > 0 \end{cases}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb R, $$
описывает множество первообразных функции $\dfrac{1}{1 + x^2}$ на промежутках $x < 0$ и $x > 0$, соответственно.
</aside>
Доказательство утверждения последнего примера, как и вопрос описания всех первообразных данной функции, решается с помощью следующей теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ]
Пусть $F$ — первообразная для $f$ на $\langle a, b \rangle$. Для того чтобы $\Phi$ также была первообразной для $f$ на $\langle a, b \rangle$, необходимо и достаточно, чтобы
$$ F(x)-\Phi(x) \equiv C, \quad x \in \langle a, b \rangle, \quad C \in \mathbb R. $$
Доказательство:
