В этом пункте мы распространим ранее изученные формулы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле на интеграл Римана.
Начнем с изучения формулы интегрирования по частям.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (формула интегрирования по частям)
Пусть $u, v$ дифференцируемы на $[a, b]$, причем $u', v' \in R[a, b]$, тогда
$$ \int\limits_a^b uv' \ dx = \left. uv \right|_a^b - \int\limits_a^b v u' \ dx $$
или
$$ \int\limits_a^b u \ dv = \left. uv \right|_a^b - \int\limits_a^b v \ du. $$
Приведем полезный для дальнейшего пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Вычислить интеграл
$$ \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x \ dx, \quad n \in \mathbb N \cup \{0\}. $$
Обозначим
$$ I_n := \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x \ dx. $$
Легко проверить, что $I_0 = \pi/2$, $I_1 = 1$. Пусть $n > 1$, тогда
$$ I_n = \int\limits_0^{\pi/2}\sin^n x \ dx = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x\ d(-\cos x) = \left. -\cos x \sin^{n-1}x \right|_0^{\pi/2} + $$
$$
где последнее равенство верно в силу того, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. В итоге,
$$ I_n = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}, $$
откуда легко получается, что
$$ I_n = \begin{cases} \frac{(n - 1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2}, & n = 2k \\
\frac{(n - 1)!!}{n!!}, & n = 2k - 1 \end{cases}, \quad k \in \mathbb N \cup \{0\}. $$
</aside>
Теперь обратимся к формуле замены переменной.
Как мы знаем, формула замены переменной — мощный аппарат, позволяющий вычислять и преобразовывать разного рода интегралы. В этом пункте мы изучим, как эта формула распространяется на интеграл Римана.
Сформулируем и докажем теорему о замене переменной в ее «естественном» виде.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (первый вариант формулы замены переменной)
Пусть $f \in C[a, b]$, $x = \varphi(t): [\alpha, \beta] \to [a, b]$, $\varphi$ дифференцируема и $\varphi' \in R[\alpha, \beta]$. Тогда
$$ \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f \ dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (f \circ \varphi) \varphi' \ dt. $$
Итак, что прекрасно видно, так это то, что применение теоремы снова становится совершенно «механическим», почти как в неопределенном интеграле, разве что теперь нужно не забыть о том, чтобы, как говорят, «пересчитать» пределы интегрирования.
Приведем пример использования этой теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Вычислить при $a > 0$ интеграл
$$ \int\limits_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \ dx. $$
Из геометрических соображений должно быть понятно, что интеграл равен $\pi a^2/4$ — площади четверти круга радиуса $a$. Проверим это.
Сделаем замену $x = a\sin t$. Тогда
$$ \int\limits_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \ dx = \int\limits_0^{\pi/2}a^2 \cos^2 t \ dt = a^2\int\limits_0^{\pi/2} \left( \frac{1 + \cos 2t}{2} \right) \ dt = \frac{\pi}{4}a^2. $$
</aside>
