В этом пункте обсудим полезное для практики и весьма специфическое свойство интеграла от четной функции по симметричному промежутку — он равен удвоенному интегралу по любой из половин данного промежутка, отложенной от центра.
Геометрически все сказанное должно быть очевидно: в силу четности и, например, неотрицательности $f$, площадь под графиком функции слева на промежутке $[-a, 0]$ просто-напросто равна площади справа на промежутке $[0, a]$.
Сформулируем наши рассуждения в виде теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об интеграле от четной функции по симметричному промежутку)
Пусть $f \in R[0, a]$ и является четной. Тогда
$$ \int\limits_{-a}^a f \ dx = 2 \int\limits_0^a f \ dx. $$
Теперь обсудим свойства интеграла от нечетной функции.
Теперь поговорим про интеграл от нечетной функции. Здесь, очевидно, все должно быть наоборот: в силу нечетности, появляющиеся отрицательные «площади» должны уничтожать симметричные им «положительные», складываясь, в итоге, в ноль.
Итак, справедлива следующая теорема.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об интеграле от нечетной функции по симметричному промежутку)
Пусть $f \in R[0, a]$ и является нечетной. Тогда
$$ \int\limits_{-a}^a f \ dx = 0. $$
Осталось изучить, что же происходит с периодической функцией при интегрировании ее по периоду.
Разберемся, наконец, с интегралом от периодической функции. Интуиция должна подсказывать, что, в силу повторения, интеграл от периодической функции по любому периоду одинаков. Так оно и есть.
Зафиксируем сказанное виде теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (интеграл от периодической функции по промежутку длины в период)
Пусть $f \in R[0, T]$ и является периодической с периодом $T$, тогда
$$ \int\limits_a^{a + T} f \ dx = \int\limits_0^T f \ dx, \quad \forall a \in \mathbb{R}. $$
