В этом пункте мы докажем так называемую формулу Валлиса — исторически первое представление числа $\pi$ как предела последовательности рациональных чисел. Эта формула будет появляться и, честно говоря, выручать нас в самых разных ситуациях. В частности, она уже понадобится нам во втором пункте этого раздела — при выводе формулы Стирлинга.
Итак, сформулируем саму теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (формула Валлиса)
$$ \pi = \lim\limits_{n \to + \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2. $$
Перейдем теперь к рассмотрению формулы Стирлинга.
Мы знаем, что факториал растет быстрее, чем показательная, степенная, логарифмическая функции. Но как и с чем сравнить его рост, если нас не устраивает такая характеристика, как «быстрее»? Точнее — чему эквивалентен $n!$ при больших значениях $n$? На этот вопрос дает ответ формула Стирлинга.
Предпошлем формуле Стирлинга такое вспомогательное, легко получаемое из геометричских соображений, неравенство.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (одно неравенство для логарифма)
Для натуральных значений $n$ справедливо неравенство
$$ \frac{1}{n + 1/2} < \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right). $$
Теперь докажем формулу Стирлинга.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (формула Стирлинга)
$$ n! = \left( \frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}\ e^{\theta/(4n)}, \quad \theta \in [0, 1]. $$
Отметим отдельно важное для практики следствие.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ]
$$ n! \sim \left( \frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}, \quad n \to +\infty. $$
</aside>
Заметим также, что справедлива более точная формула, которую сейчас мы доказывать не будем.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
На самом деле можно доказать, что
$$ n! = \left( \frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \ e^{\theta/12n}, \ \theta \in [0, 1]. $$
</aside>
