Итак, мы все время говорим, что интеграл от неотрицательной функции — это площадь. А что такое площадь? Было ли дано хоть где-то строгое определение этому понятию?
Пока что мы действовали, да и все еще продолжаем действовать на интуитивном уровне. В этом разделе мы подойдем к понятию площади более строго, однако все равно не формализуем его до конца. Но, надеемся, понимания прибавится.
Понятие площади некоторых геометрических фигур известно из школьного курса геометрии. Определение площади для более широкого класса множеств «совсем строго» в данный момент мы давать не будем.
Начнем с того, что «определим» понятие длины вектора в пространстве $\mathbb R^n$ или, что то же самое, расстояния от точки до начала координат. Напомним, что под $\mathbb R^n$ мы понимаем
$$ \mathbb R^n := \underbrace{\mathbb R \times \mathbb R \times ... \times \mathbb R}_{n \text{ раз}} . $$
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Пусть $x = (x_1, x_2, ..., x_n) \in \mathbb{R}^n$. Элемент $x$ иногда называется вектором, а иногда — точкой. Под длиной вектора (или под расстоянием от $x$ до начала координат) будем понимать следующую величину:
$$ |x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}. $$
</aside>
Теперь мы можем определить важное для дальнейшего понятие движения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (движение)
Отображение $U: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ называется движением, если
$$ |x - y| = |U(x) - U(y)|. $$
</aside>
Иными словами, некоторое отображение называется движением, если оно сохраняет расстояния.
Теперь мы готовы приступить к ключевому определению этого пункта.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие пощади)
Функция множеств (функционал) $S: \mathfrak{U} \to \mathbb{R}$, заданная на некотором множестве «квадрируемых» подмножеств плоскости, называется площадью, если
$S(A) \geq 0$, $A \in \mathfrak U$.
Если $A, B \in \mathfrak U$, $A \cap B = \varnothing$, то $A \cup B \in \mathfrak{U}$ и
$$ S(A \cup B) = S(A) + S(B). $$
Площадь прямоугольника со сторонами $a, b$ равна $ab$.
Если $A \in \mathfrak U$, $U$ — движение, то $U(A) \in \mathfrak U$ и
$$ S(U(A)) = S(A). $$
</aside>
Итак, поясним каждый пункт определения отдельно:
- во-первых, площадь — это, как мы и ожидаем, неотрицательная функция;
- во-вторых, площадь объединения непересекающихся множеств равна сумме площадей объединяемых множеств;
- в-третьих, выполнено условие нормировки — привычная для нас площадь прямоугольника ей и остается;
- в-четвертых, площадь не меняется при движении.
Укажем явно и на «дыру», присутствующую в определении, которую на данный момент мы закрывать не планируем.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Обратите внимание, что множество «квадрируемых» фигур мы не определяем. То, что некоторая фигура имеет площадь, здесь и далее принимается на веру, вплоть до момента обсуждения теории меры.
Впрочем, забегая вперед, сразу скажем, что все привычные для нас фигуры: многоугольники, круги, их объединения и пересечения, конечно же окажутся квадрируемыми.
</aside>
Отметим теперь некоторые свойства площади.
