В предыдущих разделах мы подробно обсудили интеграл Римана: и с точки зрения формального построения, и с точки зрения различных приложений. Однако оказывается, что как потребности самой математики, так и приложений, требуют расширения введенного понятия в двух направлениях:
- во-первых, хочется отказаться от необходимого условия интегрируемости — в случаях, когда это возможно, научиться определять интеграл от неограниченной функции, пусть и значением $+\infty$;
- во-вторых, хочется научиться распространять интеграл Римана с отрезка на неограниченный промежуток.
Разрешением этих вопросов мы и займемся в этом пункте.
Начнем с того, что введем то основное определение, от которого и будем отталкиваться при построении нового объекта.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие локальной интегрируемости)
Говорят, что функция $f$ локально интегрируема на множестве $E$, и пишут $f \in R_{loc}(E)$, если $f \in R[a, b]$ для любого $[a, b] \subset E$.
</aside>
Итак, локально интегрируемая функция интегрируема на любом отрезке, содержащемся в $E$.
Теперь мы можем ввести основной объект, исследуемый далее.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие несобственного интеграла)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$, $-\infty < a < b \leq + \infty$. Тогда символ
$$ \int\limits_a^b f \ dx $$
называется несобственным интегралом от функции $f$ по множеству $[a, b)$.
</aside>
Итак, пока что несобственный интеграл для нас — это просто некоторый символ. Попробуем придать этому символу разумное числовое значение. Сделать это можно, основываясь на следующих рассуждениях.
Посмотрим на то, что требуется в определении, — на локальную интегрируемость функции $f$. То, что функция $f$ оказывается локально интегрируемой на $[a, b)$, позволяет нам рассматривать уже изученные (стандартные) интегралы Римана по множествам $[a, \omega]$, $\omega \in (a, b)$.Дальше же можно совершить стандартный для анализа предельный переход — для определения значения несобственного интеграла по $[a, b)$ можно устремить $\omega \to b-0$ и посмотреть, получится ли что-то разумное.
Сформулируем теперь формальное определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие значения несобственного интеграла)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$, $-\infty < a < b \leq + \infty$ и $\omega \in [a, b)$. Предел
$$ \lim\limits_{\omega \to b - 0} \int\limits_a^\omega f \ dx, $$
если он существует в $\overline{\mathbb{R}}$, называется значением несобственного интеграла от функции $f$ по множеству $[a, b)$.
</aside>
Введем, аналогично тому, что было сделано в теории предела последовательности, понятие сходящегося несобственного интеграла.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие сходящегося интеграла)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$, $-\infty < a < b \leq + \infty$ и $\omega \in [a, b)$. Если предел
$$ \lim\limits_{\omega \to b-0} \int\limits_a^\omega f \ dx $$
существует в $\mathbb R$, то несобственный интеграл называется сходящимся. Иначе — расходящимся.
</aside>
Отметим напрашивающееся замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Понятно, что все определения, данные выше, и теоремы, доказанные ниже, симметричным образом переносятся на случай $f \in R_{loc}(a, b]$, $-\infty \leq a < b < + \infty.$ Мы оставляем формулировки и доказательства читателю в качестве упражнения.
</aside>
Приведем некоторые примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
$$ \int\limits_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha}. $$
Согласно определению,
$$ \int\limits_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha} = \lim\limits_{\omega \to + \infty} \int\limits_1^\omega \frac{dx}{x^\alpha} = \lim\limits_{\omega \to + \infty} \left. \left( \begin{cases} \ln x , & \alpha = 1 \\ \frac{1}{x^{\alpha - 1}(1 - \alpha)}, & \alpha \neq 1 \end{cases} \right) \right|_1^\omega = \begin{cases} +\infty, & \alpha \leq 1 \\ \frac{1}{\alpha - 1}, & \alpha >1 \end{cases}. $$
Итак, несобственный интеграл сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.
</aside>
Рассмотрим теперь другой «по качеству» пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
$$ \int\limits_0^{1} \frac{dx}{x^\alpha}. $$
Согласно определению,
$$ \int\limits_0^{1} \frac{dx}{x^\alpha} = \lim\limits_{\omega \to 0+0} \int\limits_\omega^1 \frac{dx}{x^\alpha} = \lim\limits_{\omega \to 0+0} \left. \left( \begin{cases} \ln x , & \alpha = 1 \\ \frac{1}{x^{\alpha - 1}(1 - \alpha)}, & \alpha \neq 1 \end{cases} \right) \right|_\omega^1 = \begin{cases} +\infty, & \alpha \geq 1 \\ \frac{1}{1 - \alpha}, & \alpha < 1 \end{cases}. $$
Итак, несобственный интеграл сходится при $\alpha < 1$ и расходится при $\alpha \geq 1$.
</aside>
