Так как несобственный интеграл — это предел, то, как обычно, справедлив так называемый критерий Коши сходимости интеграла.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерий Коши)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$. Для того чтобы интеграл
$$ \int\limits_a^b f \ dx $$
сходился необходимо и достаточно, чтобы
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \Delta \in (a, b): \ \forall \delta_1, \delta_2 \in (\Delta, b) \Rightarrow \left| \int\limits_{\delta_1}^{\delta_2} f \ dx \right| < \varepsilon. $$
На «бытовом уровне» критерий Коши можно сформулировать так: интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого наперед заданного положительного числа $\varepsilon$, находясь достаточно близко к точке $b$ любой «хвост» интеграла оказывается меньше, чем $\varepsilon$.
Критерием Коши, как нам уже известно, редко пользуются для доказательства сходимости интеграла, а вот для доказательства расходимости — постоянно. Перед тем как привести пример напомним, как выглядит отрицание критерия Коши.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ] (отрицание критерия Коши)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$. Для того чтобы интеграл
$$ \int\limits_a^b f \ dx $$
расходился необходимо и достаточно, чтобы
$$ \exists \varepsilon > 0: \ \forall \Delta \ \exist \delta_1, \delta_2 \in (\Delta, b): \ \left|\int\limits_{\delta_1}^{\delta_2} f \ dx\right| \geq \varepsilon. $$
</aside>
Отрицание критерия Коши на «бытовом уровне» можно прокомментировать следующим образом: расходимость интеграла означает, что найдется такое положительное число $\varepsilon$, что как бы близко к точке $b$ мы не подошли, всегда найдется «хвост» интеграла больший, чем $\varepsilon$.
Приведем пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Доказать расходимость интеграла
$$ \int\limits_1^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| \ dx. $$
Возьмем $\delta_1^n = \pi n$, $\delta_2^n = 2\pi n$. Покажем, что интеграл по промежутку $[\delta_1^n, \delta_2^n]$ не стремится к нулю с ростом $n$. Действительно,
$$ \int\limits_{\delta_1^n}^{\delta_2^n} \left| \frac{\sin x}{x} \right| \ dx = \int\limits_{\pi n}^{2 \pi n} \left| \frac{\sin x}{x} \right| \ dx \geq \frac{1}{2\pi n } \int\limits_{\pi n}^{2\pi n}|\sin x| \ dx = \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^\pi|\sin x| \ dx = \frac{1}{\pi}. $$
Итак, согласно критерию Коши, интеграл расходится.
</aside>
Прокомментируем то, что произошло. В нашем примере в качестве $\varepsilon$ из отрицания критерия Коши можно взять $1/\pi$. Так как $\delta_i^n \xrightarrow[n \to + \infty]{} + \infty$, то условие
$$ \forall \Delta \ \exist \delta_1, \delta_2 \in (\Delta, b) $$
обеспечено.
Итак, для выбранного $\varepsilon = 1/\pi$ мы «произвольно близко» к $+\infty$ нашли хвост интеграла, больший, чем $\varepsilon$. Это доказывает расходимость интеграла.
Перейдем теперь к изучению сходимости интегралов от функций произвольного знака.
Если функция не сохраняет знак вблизи особой точки, то выделяют дополнительный тип сходимости — абсолютную сходимость.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие абсолютной сходимости)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$. Говорят, что несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, если сходится интеграл
$$ \int\limits_a^b |f| \ dx. $$
</aside>
Итак, абсолютная сходимость интеграла — это сходимость интеграла от модуля функции. Понятно, что для функций, сохраняющих знак, введенное понятие ничего нового не несет.
Ответим на вопрос о связи абсолютной и условной сходимостей.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$. Если интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится абсолютно, то он сходится.
