Итак, раз мы сказали, что нахождение первообразной и нахождение производной — в некотором смысле обратные друг другу действия, то договоримся и о действиях, связывающих неопределенный интеграл и производную.
Будем считать, что справедливы следующие соотношения (на множествах, где определены соответствующие неопределенные интегралы):
$$ \left(\int f \ dx\right)' = f, \quad d \left(\int f \ dx \right) = f \ dx. $$
Конечно, эти соотношения нельзя оставить без каких-либо дополнительный пояснений.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" />
[ NB ]
Важно отметить, что в каждом из написанных соотношений (слева) соответствующая операция производится над множеством
$$ I = \int f \ dx. $$
По сути, написанные соотношения и определяют эту операцию, ведь ранее мы нигде не вычисляли ни производную, ни дифференциал от множества.
Мотивировкой такого определения можно считать то, что любой элемент множества $I$ под действием соответствующей операции переходит ровно в один элемент.
</aside>
Договоримся еще и о следующем. Если $F'(x) = f(x)$ при $x \in \langle a, b \rangle$, то, трактуя $dx$ как дифференциал, будем считать, что
$$ \int d F = F + C. $$
Мотивировка этого соотношения будет понятна после того, как мы изучим формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
Оказывается, для неопределенного интеграла справедливо свойство линейности. Отметим это свойство в следующей теореме.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о линейности неопределенного интеграла)
Пусть на $\langle a, b \rangle$ существуют первообразные функций $f$ и $g$. Тогда:
На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $f + g$, причем
$$ \int (f + g) \ dx = \int f \ dx + \int g \ dx. $$
На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $\alpha f$, $\alpha \in \mathbb R$, причем при $\alpha \neq 0$
$$ \int \alpha f \ dx = \alpha \int f \ dx. $$
Линейность. На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $\alpha f + \beta g$, $\alpha, \beta \in \mathbb R$, причем при $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$
$$ \int (\alpha f + \beta g) \ dx = \alpha \int f \ dx + \beta \int g \ dx. $$
</aside>
Прежде чем переходить к доказательству соответствующей теоремы, нам надо как минимум договориться о том, а что в этой теореме утверждается. Давайте определимся, как нам следует понимать правую часть равенства
$$ \int (f + g) \ dx = \int f \ dx + \int g \ dx. $$
Конкретнее, что же означает сумма множеств, записанная справа? Мы будем под этой записью понимать множество всевозможных сумм элементов соответствующих множеств, то есть
$$ \int f \ dx + \int g \ dx = \left\{F + C_1 + G + C_2, \ C_1, C_2 \in \mathbb R \right\}, $$
где $F$ — первообразная $f$, а $G$ — первообразная $g$. Естественно, мы считаем, что рассматривается некоторый промежуток $\langle a, b \rangle$, на котором определены соответствующие неопределенные интегралы или, что то же самое, первообразные.
Аналогичным образом и при аналогичных предположениях имеет смысл понимать правую часть равенства
$$ \int \alpha f \ dx = \alpha \int f \ dx. $$
Конкретнее, множество справа — это множество, составленное из всевозможных произведений числа $\alpha$ на элементы множества, которые даются неопределенным интегралом от $f$, а именно:
$$ \alpha \int f \ dx =\left\{\alpha F + \alpha C_1, \ C_1 \in \mathbb R \right\}. $$
Итак, снова вернемся к формулировке уже озвученной теоремы, и теперь докажем ее.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о линейности неопределенного интеграла)
Пусть на $\langle a, b \rangle$ существуют первообразные функций $f$ и $g$. Тогда:
На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $f + g$, причем
$$ \int (f + g) \ dx = \int f \ dx + \int g \ dx. $$
На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $\alpha f$, $\alpha \in \mathbb R$, причем при $\alpha \neq 0$
$$ \int \alpha f \ dx = \alpha \int f \ dx. $$
Линейность. На $\langle a, b \rangle$ существует первообразная функции $\alpha f + \beta g$, $\alpha, \beta \in \mathbb R$, причем при $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$
$$ \int (\alpha f + \beta g) \ dx = \alpha \int f \ dx + \beta \int g \ dx. $$
Прежде чем привести примеры использования этой теоремы, сформулируем важное для практики следствие.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ]
Пусть на $\langle a, b \rangle$ существуют первообразные функций $f$ и $g$, причем $F$ — первообразная для $f$ на $\langle a, b \rangle$. Тогда:
$$ \int f \ dx + \int g \ dx = F + \int g \ dx. $$
</aside>
По сути, это следствие означает следующее: при вычислении неопределенного интеграла произвольную постоянную можно добавлять лишь в самом конце, при вычислении последнего интеграла.
