Иногда бывают ситуации, когда предел в определении значения несобственного интеграла вычисляется не «произвольный», а «симметричный». Такое ограничение на «обработку» особенности вызвано следующими соображениями: при подходе к особой точке симметричным образом сходимость может обеспечиваться компенсацией «площадями» разного знака. Это бывает полезным во многих приложениях.
Дадим определение интеграла в смысле главного значения в случае особенности в $\mathbb R$.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (главное значение в случае особенности в конечной точке)
Пусть $-\infty < a < b < +\infty$, $c \in (a, b)$ — единственная особая точка. Предел
$$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0} \left(\int\limits_a^{c - \varepsilon}f \ dx + \int\limits_{c + \varepsilon}^b f \ dx \right), $$
если он существует в $\overline{\mathbb{R}}$, называется главным значением несобственного интеграла от $f$ по $(a, b)$.
Если значение предела принадлежит $\mathbb{R}$, то говорят, что интеграл сходится в смысле главного значения.
Обозначают интеграл в смысле главного значения следующим образом:
$$ \operatorname{v.p.} \int\limits_a^b f \ dx. $$
</aside>
Приведем конкретный пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Рассмотрим интеграл
$$ \int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{x}. $$
Ясно, что в классическом смысле он расходится, но
$$ \operatorname{v.p.} \int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{x} = \lim\limits_{\varepsilon \to 0+0} \left(\int\limits_{-1}^{0 - \varepsilon} \frac{dx}{x} + \int\limits_{0 + \varepsilon}^1 \frac{dx}{x}\right) = \lim\limits_{\varepsilon \to 0+0} \left( \ln \varepsilon - \ln 1 + \ln 1 - \ln \varepsilon \right) = 0. $$
</aside>
Итак, с геометрической точки зрения понятно, за счет чего сходится данный интеграл: за счет равномерной компенсации прибавляющейся положительной части отрицательной.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (главное значение в случае особенности в бесконечной точке)
Пусть $f \in R_{loc}(\mathbb{R})$. Интегралом в смысле главного значения по $\mathbb{R}$ называется предел
$$ \lim\limits_{A \to + \infty} \int\limits_{-A}^A f \ dx, $$
если он существует в $\overline{\mathbb{R}}$. Если значение предела принадлежит $\mathbb{R}$, то говорят, что интеграл сходится в смысле главного значения.
Обозначают интеграл в смысле главного значения по $\mathbb R$ следующим образом:
$$ \operatorname{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f \ dx. $$
</aside>
Рассмотрим пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Рассмотрим интеграл
$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \ dx. $$
Ясно, что в классическом смысле он расходится, но
$$ \operatorname{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \ dx = \lim\limits_{A \to + \infty} \int\limits_{-A}^Ax \ dx = 0. $$
</aside>
Геометрия происходящего здесь такая же, как была и в предыдущем примере: отрицательная и положительная части компенсируют друг друга.
Отметим очевидное замечание, имеющее отношение к обоим рассмотренным случаям.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Если интеграл сходится, то он сходится и в смысле главного значения, но не наоборот.
</aside>
Определения, приведенные выше, подразумевают наличие одной особенности: либо одной внутренней особой точки, либо бесконечностей. Можно определять интеграл в смысле главного значения и в случае, когда точек больше, чем одна. Мы не будем останавливаться на этом детальнее.
В этом пункте мы покажем способ вычисления так называемого интеграл Эйлера-Пуассона, часто встречающегося в теории вероятностей.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (интеграл Эйлера—Пуассона)
$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt{\pi}. $$
