Прежде чем вводить какое-либо понятие, его (понятие) бывает очень полезно тщательно мотивировать. Ниже мы обсудим несколько «якорей» — моментов, в которых возникает вопрос о поведении неограниченного числа слагаемых, а также о возможных операциях с ними. Мы коснемся как чисто «анализных» вопросов, так и вопросов элементарной физики (читай — задача на равномерное движение) и геометрии.
Теорема об арифметических свойствах пределов последовательностей решает вопрос о пределе суммы в случае, когда количество слагаемых конечно (и, скажем, все эти слагаемые имеют предел). Но что, если количество слагаемых неограниченно растет с ростом $n$? Например, рассмотрим последовательность
$$ x_n := \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n}. $$
Какой у нее предел? Если попробовать воспользоваться теоремой о пределе суммы, то, так как предел каждого слагаемого равен нулю, хочется сказать, что и предел последовательности $x_n$ равен $0$. Но это предположение очень легко разрушить, ведь легко проверить, что
$$ x_n \geq \frac{1}{2n}\cdot n = \frac{1}{2}, $$
что никак не может быть в случае, если $x_n$ стремится к нулю. Проблема, как вы, наверное, догадываетесь, заключается в том, что с ростом числа $n$ растет (причем неограниченно!) и число слагаемых последовательности $x_n$.
На ту же тему существует и одна из апорий древнегреческого философа Зенона, известная под названием «Ахиллес и черепаха». Сформулировать ее можно, допустим, следующим образом. «Предположим, что Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».
Что же, посмотрим, в чем же здесь камень преткновения. Давайте обозначим изначальное расстояние между Ахиллесом и черепахой за $S$, пусть $v$ — скорость черепахи, тогда $10v$ — скорость Ахиллеса. Будем рассуждать как Зенон, но в математических обозначениях. Расстояние $S$ Ахиллес пробежит за время
$$ t_1 := \frac{S}{10v}. $$
За это же время черепаха удалится от начальной позиции на расстояние, равное
$$ S_1 := v t_1 = \frac{S}{10}. $$
Расстояние $S_1$ Ахиллес преодолеет за время
$$ t_2 := \frac{S_1}{10v} = \frac{S}{10^2 v}, $$
а черепаха за время $t_2$ переместится на расстояние