На практике часто оказывается необходимым интегрировать так называемые рациональные дроби. Причиной этого, в частности, является то, что многие замены переменной под интегралом приводят исходную функцию к рациональной. Если мы научимся находить первообразные рациональных дробей, как говорят, в «замкнутом» виде, в виде элементарной функции, то мы научимся представлять в виде элементарной функции и первообразные многих других функций.
Как обычно, сначала договоримся об обозначениях.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие многочлена)
Многочленом (полиномом) $P_n(x)$ степени $n \geq 1$ будем называть функцию вида
$$ P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... +a_nx^n, \quad a_i \in \mathbb R, \ a_n \neq 0. $$
Многочленом нулевой степени назовем произвольную константу, отличную от нуля.
Многочленом степени $-\infty$ назовем константу, равную нулю.
</aside>
Теперь введем определение так называемой рациональной функции или, что то же самое, рациональной дроби.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие рациональной дроби)
Рациональной дробью называется дробь вида
$$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}, $$
где $P_n(x)$, $Q_m(x)$ — многочлены степеней $n$ и $m$, соответственно.
</aside>
По аналогии с рациональными числами, введем следующее определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие правильной рациональной дроби)
Рациональная дробь
$$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} $$
называется правильной, если $n < m$, иначе дробь называется неправильной.
</aside>
Конечно, если дробь оказывается неправильной, то, выделив целую часть, можно перейти к правильной дроби. Например, справедлива следующая лемма, которую мы оставим без доказательства и отправим читателя к курсу алгебры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о делении с остатком)
Пусть
$$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} $$
— неправильная дробь. Тогда существует единственное представление этой дроби в виде
$$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = R_{n - m}(x) + \frac{T_k(x)}{Q_m(x)}, $$
где $R_{n - m}(x)$ — многочлен степени $(n - m)$, $T_k(x)$ — многочлен степени $k$ и $k < m$.
</aside>
В теории многочленов доказывается следующая теорема.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о разложении многочлена над $\mathbb R$)
Пусть $P_n(x)$ — многочлен $n$-й степени, коэффициент при старшей степени которого равен единице. Тогда справедливо разложение
$$ P_n(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdot (x-a_2)^{k_2}\cdot \ldots \cdot (x-a_p)^{k_p}\cdot \\ \cdot (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}\cdot (x^2+p_2x+q_2)^{l_2} \cdot \ldots \cdot (x^2+p_mx+q_m)^{l_m}, $$
где при $i \in \{1, 2, ..., p\}$, $j \in \{1, 2, ..., m\}$
$$ a_i \in \mathbb R, \quad k_i \in \mathbb N, \quad l_j \in \mathbb{N}, \quad p_j^2-4q_j < 0, \\ \ k_1+k_2+\ldots +k_p+2 (l_1+\ldots +l_m) = n. $$
</aside>
Понятно, что числа $a_1,..., a_p$ — это корни многочлена $P_n(x)$ кратностей $k_1, ..., k_p,$ соответственно, а квадратные трехчлены $x^2 + p_jx + q_j, \ j \in \{1, 2,..., m\}$, вещественных корней не имеют.
Сформулируем сказанное в виде замечания.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" />
[ NB ]
Условия $p_j^2-4q_j < 0$, $j \in \{1, 2, ..., m\}$, означают, что квадратные трехчлены $x^2+p_jx+q_j$не имеют вещественных корней.
Отдельно отметим, что каждый из них в этом случае имеет два комплексно-сопряженных корня $\alpha_j \pm i\beta_j$ .
</aside>
Теперь мы готовы применить описанный аппарат для решения сформулированной в самом начале данного параграфа задачи.
