Аналогично тому, как мы поступали в теории несобственных интегралов, рассмотрим ряды с членами произвольного знака, а также новые типы сходимости, которые в этом случае возникают.
Сразу приведем основное определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие абсолютной сходимости ряда)
Говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, если сходится ряд с общим членом $|a_k|$.
</aside>
Как и ранее, справедлива следующая теорема.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о сходимости абсолютно сходящегося ряда)
Если ряд с общим членом $a_k$ сходится абсолютно, то он сходится.
Отметим одно очевидное, но полезное для практики замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
При исследовании ряда на абсолютную сходимость можно пользоваться доказанными ранее признаками сходимости рядов с членами постоянного знака.
</aside>
Теперь изучим понятие условной сходимости. Как и ранее, начнем с определения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие условной сходимости ряда)
Если ряд с общим членом $a_k$ сходится, но абсолютной сходимости нет, то говорят, что ряд с общим членом $a_k$ сходится условно (или неабсолютно).
</aside>
На данный момент у нас нет какого-то аппарата исследования рядов на условную сходимость (и, соответсвенно, показательных примеров). Мы исправим этот пробел уже в следующем пункте. Сейчас же завершим обсуждение типов сходимости следующей, уже хорошо известной, леммой.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о неизменности типа сходимости при добавлении абсолютно сходящейся части)
Пусть рассматриваются ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$, причем ряд с общим членом $b_k$ сходится абсолютно. Тогда:
Доказательство:
Теперь обсудим признаки сходимости рядов с членами произвольного знака.
Итак, сформулируем и докажем уже, в некотором смысле, известный нам признак Абеля—Дирихле.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признак Абеля—Дирихле)
Пусть даны последовательности $a_k$, $b_k$, причем $b_k$ монотонна. Тогда для сходимости ряда
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_kb_k $$
достаточно выполнения любой из двух пар условий:
Частичные суммы
$$ A_n := \sum\limits_{k = 1}^n a_k $$
ограничены в совокупности, то есть $|A_n| \leq C$, $\forall n \in \mathbb{N}$.
Последовательность $b_k$ стремится к нулю при $k \to \infty$.
Ряд
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k $$
сходится.
Последовательность $b_k$ ограничена.
Доказательство:
Полезно провести аналогию между условиями в только что доказанном признаке и условиями таким же образом названного признака, полученного ранее для несобственных интегралов. Отличие, по сути, в одном: первообразная (неформально — частичный интеграл) заменяется частичной суммой, остальное остается без изменений.
