В этом разделе мы введем понятие определенного интеграла Римана, придя к нему, как нам кажется, естественным образом — от решения конкретной прикладной задачи — задачи вычисления площади под графиком некоторой функции.
Рассмотрим задачу вычисления площади под графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[0, 1].$
Разобьем рассматриваемый отрезок на $n$ равных частей точками
$$ 0 = \frac{0}{n}, \ \frac{1}{n}, \ \frac{2}{n}, \ \ldots, \ \frac{n - 1}{n}, \ \frac{n}{n} = 1 $$
и будем приближать площадь под графиком функции над каждым из получившихся отрезков разбиения площадью, которую мы умеем вычислять, — площадью прямоугольника. Все бы ничего, но невольно встает вопрос: как выбрать высоты этих прямоугольников?
Логично считать (а логично ли?), что чем меньше длина каждого из отрезков разбиения, тем меньше меняется значение функции на этом отрезке. Значит, если мы устремим $n \to \infty$ и, тем самым, будем дробить наш отрезок на бесконечное число отрезков сколь угодно малой длины, то нам будет совершенно не важно, какое значение функции на каждом из отрезков считать высотой аппроксимирующего прямоугольника, а значит мы cможем выбирать то значение, которое нам удобно. Все сказанное хорошо иллюстрируется анимацией, приведенной ниже.
Выберем в качестве высот прямоугольников те значения, которые принимаются на правых концах каждого из отрезков разбиения, то есть значения, принимаемые в точках
$$ x_i = \frac{i}{n}, \quad i \in \{1, 2, \ \ldots, n\}. $$
Значения эти равны
$$ y(x_i) = \frac{i^2}{n^2}, \quad i \in \{1, 2, \ \ldots, n\}. $$
Значит, площадь над отрезком разбиения
$$ \left[\frac{i - 1}{n}, \ \frac{i}{n} \right], \ i \in \{1, 2, \ \ldots, n\}, $$
приближается площадью прямоугольника, равной
$$ \frac{y(x_i)}{n} = \frac{i^2}{n^3}, \quad i \in \{1, 2, \ \ldots, n\}. $$
Итого, вся площадь под графиком функции приближается площадью ступенчатой фигуры, равной
$$ \widetilde S_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{y(x_i)}{n} = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{i^2}{n^3} = \frac{1}{n^3}\sum\limits_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^3}. $$