А с чем работает математика? Часто — с числами. А что такое эти числа, откуда берутся правила действия с ними, их различные свойства?
В этом пункте мы аксиоматически определим множество вещественных чисел, обсудим каждую из групп аксиом в отдельности, а также посмотрим на те следствия, которые возможно получить из введенных аксиом. По началу, вводя аксиомы, мы не будем акцентировать внимание на каких-либо следствиях, а в дальнейшем, во втором разделе этой главы, мы, наоборот, увидим, что введенная система аксиом позволяет получить все те правила обращения с числами, что мы «ловко» изучали и использовали в школе.
Итак, дадим основное (и важнейшее для дальнейшего) определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие множества вещественных чисел)
Множество $\mathbb{R}$ называется множеством вещественных (действительных) чисел, а его элементы вещественными (действительными) числами, если введены операции и аксиомы, приведенные ниже.
</aside>
Как же без сложения? Давайте опишем требования к этой операции.
Определено отображение $+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, называемое операцией сложения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре $(x, y)$ из $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ элемент $x + y \in \mathbb{R}$, называемый суммой $x$ и $y$, обладающее свойствами:
Операция $+$ коммутативна, то есть для любых $x, y \in \mathbb{R}$
$$ x + y = y + x. $$
Операция $+$ ассоциативна, то есть для любых $x, y, z \in \mathbb{R}$
$$ (x + y) + z = x + (y + z). $$
Существует нейтральный элемент по сложению $0 \in \mathbb{R}$ (называемый нулем), такой, что для любого $x \in \mathbb{R}$
$$ x + 0 = x. $$
Для каждого элемента $x \in \mathbb{R}$ существует противоположный элемент $-x$ такой, что
$$ x + (-x) = 0. $$
Итак, мы видим привычные для нас правила:
- Операция сложения принимает два числа (поэтому и действует на $\mathbb R \times \mathbb R)$, а выдает одно число (поэтому действует в $\mathbb R).$
- От перестановки слагаемых сумма не изменяется (коммутативность).
- Скобки при суммировании можно расставлять как угодно (ассоциативность).
- Ноль — он и есть ноль: к чему ни прибавь, получишь то же самое (существование нейтрального элемента по сложению).
- Для каждого числа есть противоположное к нему в том смысле, что сумма таких чисел дает ноль (существование противоположного элемента по сложению).
Теперь опишем требование к операции умножения.
Определено отображение $\cdot: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, называемое операцией умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре $(x, y)$ из $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ элемент $x \cdot y \in \mathbb{R}$, называемый произведением элементов $x$ и $y$, обладающее свойствами:
