Для изучения вопросов существования интеграла Римана, полезно рассмотреть две «крайние интегральные суммы», которые, на самом деле, интегральными суммами являются не всегда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (суммы Дарбу)
Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$ и $\tau$ — некоторое разбиение этого отрезка. Величины
$$ S_{\tau}(f) = \sum\limits_{i = 1}^nM_i \Delta x_i, \quad M_i = \sup\limits_{x \in \Delta_i} f(x), \quad i \in \{1, 2, ..., n\}, \\ s_{\tau}(f) = \sum\limits_{i = 1}^nm_i \Delta x_i, \quad m_i = \inf\limits_{x \in \Delta_i} f(x), \quad i \in \{1, 2, ..., n\}, $$
называют верхней и нижней суммами Дарбу для функции $f$, отвечающими разбиению $\tau$, соответственно.
</aside>
Полезно отметить геометрическое толкование сумм Дарбу: верхняя сумма отвечает «площади» наименьшей описанной вокруг графика функции $f$ ступенчатой фигуры, а нижняя — «площади» наибольшей вписанной в график функции $f$ ступенчатой фигуры. Слово площадь берется в кавычки не случайно: если функция принимает на отрезке разбиения отрицательное значение, то высота описанного прямоугольника на этом отрезке оказывается отрицательной, и площадь над этим отрезком берется со знаком минус. Аналогичные рассуждения справедливы и для вписанных прямоугольников.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Из определения верхней и нижней сумм Дарбу очевидно неравенство
$$ s_{\tau}(f) \leq \sigma_{\tau}(f, \xi) \leq S_{\tau}(f), $$
верное для любых оснащенных разбиений $(\tau, \xi)$ отрезка $[a, b]$.
</aside>
Понятно, что если $f$ не ограничена сверху (снизу), то $S_\tau(f) = +\infty$ ($s_\tau(f) = -\infty$). Конечность же любой из верхних (нижних) сумм Дарбу равносильна ограниченности функции сверху (снизу).
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о связи ограниченности функции и конечности сумм Дарбу)
Ограниченность $f$ сверху (снизу) равносильна конечности произвольной верхней суммы $S_\tau(f)$ (нижней суммы $s_{\tau}(f)$) Дарбу.
Доказательство:
Доказательство леммы допускает и более сильное ее, леммы, утверждение: ограниченность $f$ сверху (снизу) равносильна ограниченности множества верхних сумм Дарбу $S_\tau(f)$ сверху (множества нижних сумм Дарбу $s_{\tau}(f)$ снизу).
Отметим связь сумм Дарбу и интегральных сумм.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Если $f \in C[a, b]$, то, согласно теореме Вейерштрасса, $m_i = \min\limits_{x \in \Delta_i} f(x)$, $M_i = \max\limits_{x \in \Delta_i} f(x)$, а потому нижняя и верхняя суммы Дарбу для непрерывной функции являются ее наименьшей и наибольшими интегральными суммами, соответственно.
</aside>
В общем случае последнее замечание, конечно, не выполняется — у разрывной функции суммы Дарбу могут не совпадать ни с одной из интегральных сумм.
В этом пункте мы выведем три стандартных свойства сумм Дарбу, которые в дальнейшем помогут нам сформулировать и доказать важные критерии интегрируемости функции.
Обобщим связь между интегральными суммами и суммами Дарбу, отмеченную ранее лишь для непрерывных функций.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о связи сумм Дарбу и интегральных сумм)
Справедливы равенства
$$ S_{\tau}(f) = \sup\limits_{\xi} \sigma_{\tau}(f, \xi), \quad s_{\tau}(f) = \inf\limits_{\xi} \sigma_{\tau}(f, \xi). $$
Теперь установим свойства, связанные с монотонностью сумм Дарбу. Для этого сначала введем понятие измельчения разбиения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (измельчение разбиения)
Пусть на отрезке $[a, b]$ введены разбиения $\tau_1$ и $\tau_2$. Говорят, что разбиение $\tau_1$ является измельчением разбиения $\tau_2$, если $\tau_2 \subset \tau_1$.
</aside>
