В этом пункте мы покажем несколько иной, но напрашивающийся подход к определению интегралов Дарбу — через предел. Опираясь на свойства сумм Дарбу (точнее — на их монотонность при измельчении разбиения), логично предположить, что интегралы Дарбу — не что иное как пределы соответствующих сумм Дарбу при стремлении мелкости разбиения к нулю.
Итак, сформулируем и докажем следующую теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (связь интегралов Дарбу и предела)
Пусть $f$ задана и ограничена на $[a, b]$. Тогда
$$ I^(f) = \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} S_\tau(f), \quad I_(f) = \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} s_\tau(f), $$
или, более строго,
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ \forall \tau: \ \lambda(\tau) < \delta \ \ 0 \leq S_\tau(f) - I^(f) < \varepsilon, \\ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ \forall \tau: \ \lambda(\tau) < \delta \ \ 0 \leq I_(f) - s_\tau(f) < \varepsilon. $$
В этом пункте мы сформулируем и докажем критерии интегрируемости функции (по Риману). В принципе, идейную часть этих критериев мы сформулировали уже ранее в пункте, касающемся интегралов Дарбу: функция интегрируема тогда и только тогда, когда при измельчении разбиения суммы Дарбу стремятся к одному и тому же числу. Поговорим теперь об этом строго.
Итак, сформулируем и докажем основную теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерии интегрируемости функции)
Пусть $f$ задана на $[a, b]$. Следующие утверждения равносильны:
$f \in R[a, b]$
критерий Дарбу:
$$ \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0 }\left(S_\tau(f) - s_\tau(f) \right) = 0 \ \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \forall \tau: \ \lambda(\tau) < \delta \ \ S_\tau(f) - s_\tau(f) < \varepsilon. $$
критерий Римана:
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \tau: \ S_\tau(f) - s_\tau(f) < \varepsilon. $$
критерий в терминах интегралов Дарбу: $f$ ограничена и
$$ I_(f) = I^(f) = \int\limits_a^b f \ dx. $$
Доказательство.
Как видно из приведенной теоремы, критерий Дарбу можно ослабить, потребовав в качестве достаточности лишь существования «удобного» разбиения для любой наперед заданной точности (критерий Римана). В принципе, оно и понятно: если множество под графиком функции можно «зажать» между двумя ступенчатыми фигурами сколь угодно близкой «площади», то функция, из геометрических соображений, должна быть интегрируемой.
В дальнейшем нам будет удобно применять доказанные критерии в несколько иной записи. Введем следующее определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (колебание функции)
Пусть функция $f$ задана на множестве $E$. Колебанием функции на этом множестве называется величина
$$ \omega(f, E) = \sup\limits_{x, y \in E}|f(x) - f(y)| = \sup\limits_{x, y \in E}(f(x) - f(y)) $$
</aside>
Понятно, что колебание функции на множестве есть не что иное, как наибольшая из разностей «значений» функции на этом множестве.
Отметим очевидное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Из определений верхней и нижней граней легко получить, что
$$ \omega(f, E) = \sup\limits_{x \in E} f(x) - \inf\limits_{x \in E} f(x). $$
</aside>
Частично переформулируем доказанную ранее теорему с использованием вновь введенных обозначений.
