8. Бином Ньютона и модуль вещественного числа

В этом разделе мы обсудим, в общем-то, школьные факты, касаемые бинома Ньютона и модуля вещественного числа.

Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула для раскрытия выражения вида $(a+b)^n$, $n \in \mathbb N$. Понятно, что многие знакомы с тем, как это делать при конкретных $n$, используя треугольник Паскаля. Наша же цель — выписать формулу в общем виде. Конечно, для этого придется ввести в рассмотрение некоторые объекты.

Начнем с понятия факториала.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие факториала)

Факториалом числа $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ называют число

$$ n! := \begin{cases} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n, & n > 0 \\ 1, & n = 0\end{cases}. $$

</aside>

Так, например,

$$ 0! = 1, \quad 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6, \quad 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. $$

Для целых и различных других типов чисел мы введем понятие факториала сильно позже, с использованием так называемой гамма-функции.

Отметим важное «порождающее» правило, справедливое для факториала.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Полезно заметить, что при $n \geq 1$ справедливо следующее соотношение:

$$ n! = n \cdot (n-1)!. $$

Конечно, оно моментально следует из определения факториала.

</aside>

Введем понятие биномиального коэффициента.

Величины

$$ C^k_n := \frac{n!}{k!(n-k)!}, \quad k \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}, $$

называют биномиальными коэффициентами.

</aside>

Обсудим комбинаторный смысл введенных величин. Предположим, у нас есть $n$ различных шариков. Мы, не глядя, выбираем $k\in\{0, 1, 2, \ldots, n\}$ из них (выбранный шарик не возвращается в общую кучу). Сколько существует способов это сделать, если под различными способами мы понимаем способы, результаты которых отличаются составом выбранных шариков?

Понятно, что количество способов выбрать $k$ шариков из $n$ (выбранный шарик не возвращается в общую кучу), учитывая порядок выбора шариков, может быть вычислено так:

$$ n\cdot(n-1) \cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}, $$

ведь на первом месте может оказаться любой из $n$ шариков, на втором — уже любой из $(n-1)$ шариков, и так далее, а на $k$-ом — любой из оставшихся $(n-k+1)$ шариков. Чтобы не учитывать порядок шариков, нам достаточно исключить из подсчета все посчитанные перестановки (по местам) выбранных шариков. Раз шариков $k$, то достаточно поделить на $k!$. Так мы и приходим к биномиальному коэффициенту.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Из рассуждений, проведенных выше, следует, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ показывает количество способов выбрать $k$ объектов из $n$ различных объектов без возвращения и без учета порядка.

</aside>

Ниже приведены некоторые свойства биномиальных коэффициентов.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о свойствах биномиальных коэффициентов)

Справедливы следующие свойства:

$C^0_n=C^n_n=1$.
$C^1_n=C^{n-1}_n=n$.
$C^k_n=C^{n-k}_n$.
$C^k_n+C^{k+1}n=C^{k+1}{n+1}$.

Доказательство. </aside>

Полезно объяснить написанные свойства не только алгебраически, но и комбинаторно.

Что такое $C_n^0$? Это количество способов взять из $n$ различных элементов $0$ элементов. Способов это сделать — ровно $1$ — не взять ничего. Аналогично, $C_n^n$ — это количество способов взять из $n$ различных элементов $n$ элементов (без учета порядка и без возвращения). Способов это сделать снова — ровно $1$ — взять все.

$C_n^1$ — это количество способов взять $1$ элемент из $n$ различных элементов — таких способов, конечно, $n$. Аналогично, $C_n^{n-1}$ — это количество способов взять $n-1$ элемент из $n$ различных элементов. Таких способов столько же, сколько способов не взять $1$ элемент из $n$ различных элементов — способов это сделать, конечно, $n$.

Попробуйте объяснить себе и оставшиеся равенства с точки зрения комбинаторики.

Теперь мы готовы обсудить формулу бинома Ньютона.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (бином Ньютона)

Для $a,b\in \mathbb R, \ n\in \mathbb N,$ справедливо равенство

$$ (a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+\ldots+C^k_na^{n-k}b^k+\ldots+C^n_nb^{n}. $$

Доказательство. </aside>