Ожидаемо, что как и при рассмотрении неопределенного интеграла, справедливо свойство линейности интеграла Римана.
Сформулируем и докажем следующую теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о линейности определенного интеграла)
Пусть $f, g \in R[a, b]$, тогда
$$ \int\limits_{a}^b \left(\alpha f + \beta g\right) \ dx = \alpha \int\limits_a^b f \ dx + \beta \int\limits_a^b g \ dx. $$
Еще одно свойство интеграла Римана — аддитивность по промежутку. Его особенно просто понять геометрически, если считать, что $f \geq 0$: мы разбиваем фигуру, площадь которой ищется, на две, сумма площадей которых дает площадь исходной фигуры.
Сформулируем теперь теорему формально.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об аддитивности по промежутку интегрирования)
Пусть $f \in R[a, b]$, $c \in [a, b]$, тогда
$$ \int\limits_{a}^b f \ dx = \int\limits_{a}^c f \ dx + \int\limits_{c}^b f \ dx. $$
Отметим важное следствие из этой теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ]
Пусть $f \in R[\min(a, b, c), \max(a, b, c)]$. Тогда
$$ \int\limits_a^b f \ dx = \int\limits_a^c f \ dx + \int\limits_c^b f \ dx. $$
В этом блоке мы рассмотрим несколько утверждений о том, как операция интегрирования согласуется с неравенствами между подынтегральными функциями. Большинство утверждений интуитивно понятны, если, как обычно, подходить к интегралу от неотрицательной функции геометрически — как к площади.
Следующее свойство интеграла часто называют его монотонностью.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о монотонности интеграла)
Пусть $f, g \in R[a, b]$, $a \leq b$ и $f(x) \leq g(x)$ при $x \in [a, b]$. Тогда
$$ \int\limits_a^b f \ dx \leq \int\limits_a^b g \ dx. $$
Итак, неформально теорема говорит о том, что площадь под графиком большей функции не меньше, чем площадь под графиком меньшей.
