В этом разделе мы обсудим чрезвычайно важное для дальнейшего понятие — понятие окрестности. Вся теория предела будет строиться на этом понятии.
Итак, начнем с определения основных типов промежутков множества вещественных чисел.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие промежутков)
Множество
$$ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\} $$
называется отрезком.
Множество
$$ (a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\} $$
называется интервалом.
Множества
$$ [a, b) = \{x \in \mathbb{R}: a \leq x < b \}, \quad (a, b] = \{x \in \mathbb{R}: a < x \leq b \} $$
называются полуинтервалами.
Множества
$$ [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x \geq a \}, \quad (a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x > a \}, $$
$$ [a, +\infty] = \{x \in \overline{\mathbb{R}}: x \geq a \}, \quad (a, +\infty] = \{x \in x \in \overline{\mathbb{R}}: x > a \} $$
и
$$ (-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R}: x \leq b \}, \quad (-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R}: x < b \}, $$
$$ [-\infty, b] = \{x \in \overline{\mathbb{R}}: x \leq b \}, \quad [-\infty, b) = \{x \in \overline{\mathbb{R}}: x < b \} $$
называются лучами.
</aside>
Теперь введем понятие окрестности.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие окрестности точки из $\mathbb R$)
Окрестностью точки $x_{0} \in \mathbb{R}$ называется произвольный интервал, содержащий $x_{0}$.
</aside>
Определение должно быть интуитивно понятным — мы рассматриваем некоторую порцию множества рядом (даже с обеих сторон) с $x_0$.
Теперь введем важное понятие $\varepsilon$-окрестности.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие $\varepsilon$-окрестности точки из $\mathbb R$)
Эпсилон-окрестностью (или $\varepsilon$-окрестностью) точки $x_{0} \in \mathbb{R}$ называется интервал
$$ (x_0 - \varepsilon, \ x_0 + \varepsilon), \quad \varepsilon > 0. $$
</aside>
Итак, $\varepsilon$-окрестность точки $x_0 \in \mathbb R$ — это симметричный интервал радиуса $\varepsilon$ вокруг нее. Важно отметить, что $\varepsilon$-окрестность точки $x_0 \in \mathbb R$ может быть задана следующим образом:
$$ \{x \in \mathbb R: |x - x_0| < \varepsilon\}. $$
Мы будем неоднократно использовать это в дальнейшем.
Для точек $\pm \infty \in \overline{\mathbb R}$ понятие окрестности вводится отдельно.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие окрестностей точек $\pm \infty \in \overline{\mathbb R})$
Окрестностью точки $+\infty \in \overline{\mathbb R}$ называется множество $(a, +\infty]$, $a \in \mathbb R$.
Окрестностью точки $-\infty \in \overline{\mathbb R}$ называется множество $[-\infty, a)$, $a \in \mathbb R$.
</aside>
Теперь введем понятие $\varepsilon$-окрестности точек $\pm \infty \in \overline{\mathbb R}$.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие $\varepsilon$-окрестностей точек $\pm \infty \in \overline{\mathbb R})$
Эпсилон-окрестностью (или $\varepsilon$-окрестностью) точки $+\infty \in \overline{\mathbb R}$ называется множество
$$ \left(\frac{1}{\varepsilon}, +\infty\right], \quad \varepsilon > 0. $$
Эпсилон-окрестностью (или $\varepsilon$-окрестностью) точки $-\infty\in \overline{\mathbb R}$ называется множество
$$ \left[-\infty, -\frac{1}{\varepsilon}\right), \quad \varepsilon > 0. $$
</aside>
Полезно пояснить, почему в качестве одного из концов луча берется величина $\dfrac{1}{\varepsilon}$ с соответствующим знаком. Рассматривая $x_0 \in \mathbb{R}$, при уменьшении $\varepsilon$, соответствующая $\varepsilon$-окрестность тоже уменьшается. Аналогично, при уменьшении $\varepsilon$ величина $\dfrac{1}{\varepsilon}$ увеличивается, а значит $\varepsilon$-окрестности бесконечностей «уменьшаются».
Заметим, что $\varepsilon$-окрестности элементов $\pm \infty \in \overline{\mathbb R}$ могут быть заданы как
$$ \left\{x \in \overline{\mathbb R}: x > \frac{1}{\varepsilon} \right\} \ \text{ и } \ \left\{x \in \overline{\mathbb R}: x < -\frac{1}{\varepsilon} \right\}, $$
соответственно.
Приведем замечание, касающееся обозначения окрестностей элементов.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Окрестность точки $x_0 \in \overline{\mathbb R}$ обычно обозначается заглавными латинскими буквами, например
$$ U(x_0), \quad V(x_0). $$
$\varepsilon$-окрестность точки $x_0 \in \overline{\mathbb R}$ обозначается заглавными латинскими буквами, снабженными индексом $\varepsilon$, например
$$ U_{\varepsilon}(x_0), \quad V_{\varepsilon}(x_0). $$
</aside>
Введем теперь понятия проколотых окрестностей.
