В этом разделе мы продолжаем изучение фактов из теории вероятностей. Теперь — фактов, касающихся моментов, индикаторов зависимости, и других. Также мы косвенно освещаем такие важные моменты как закон больших чисел и центральная предельная теорема

Случайный вектор

<aside> 📌 [ Def | Случайный вектор ]

Пусть задана тройка $\Omega, U, \mathsf{P}$, определяющая вероятностное пространство. Пусть на этом вероятностном пространстве определены случайные величины $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$.

Тогда

$$ \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) $$

называется случайным вектором.

</aside>

Естественно задаться вопросом о зависимости или независимости компонент случайного вектора. Для этого сначала введем следующее определение.

<aside> 📌 [ Def | Функция распределения случайного вектора ]

Функция $F_\xi(\vec x)$ при $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ называется функцией распределения случайного вектора и задается, как

$$ F_\xi(\vec x)=\mathsf P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=\mathsf{P}((\xi_1<x_1)\cap\dots\cap(\xi_n<x_n)), $$

если выполнены следующие свойства:

$F_\xi(\vec x)\in[0,1]$
$\lim\limits_{x_i\to-\infty} F_\xi(\vec x)=0$, $\lim\limits_{\substack{x_1\to+\infty\\.\\.\\.\\ x_n\to+\infty}} F_\xi(\vec x)=1$
$F_\xi$ не убывает по каждой переменной
$F_\xi$ непрерывна слева по каждой переменной

</aside>

Типы распределений случайного вектора

Дискретный случайный вектор

Для простоты рассмотрим вектор, состоящий только из двух компонент $\xi_1$ и $\xi_2$ и введем следующее определение.

<aside> 📌 [ Def | Многомерное дискретное распределение ]

Говорят что случайный вектор $\vec{\xi} = (\xi_1, \xi_2)$ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел $\{a_i, b_j\}$, что

$$ \sum\limits_{i, \ j}\mathsf P(\xi_1 = a_i, \xi_2 = b_j\} = 1. $$

</aside>

В случае не более чем счетного числа пар $\{a_i, b_j\}$ распределение такого случайного вектора можно задать при помощи таблицы (возможно бесконечной):

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \xi_1\mathrel{\backslash} \xi_2 & b_1 & b_2 & ... & b_k & ... \\ \hline a_1 & \mathsf P(\xi_1 = a_1, \xi_2 = b_1) & \mathsf P(\xi_1 = a_1, \xi_2 = b_2) & ... & \mathsf P(\xi_1 = a_1, \xi_2 = b_k) & ... \\ \hline a_2 & \mathsf P(\xi_1 = a_2, \xi_2 = b_1) & \mathsf P(\xi_1 = a_2, \xi_2 = b_2) & ... & \mathsf P(\xi_1 = a_2, \xi_2 = b_k) & ...\\ \hline ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ \hline a_n & \mathsf P(\xi_1 = a_n, \xi_2 = b_1) & \mathsf P(\xi_1 = a_n, \xi_2 = b_2) & ... & \mathsf P(\xi_1 = a_n, \xi_2 = b_k) & ... \\ \hline ... & ... & ... & ... & ... & ... \end{array}

Пример (многомерное дискретное распределение)

[ NB ]

Зная совместное распределение, мы можем восстановить так называемые маргинальные (они же -- просто обычные одномерные) распределения случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$ по правилам

$$ \mathsf P(\xi_1 = a_i) = \sum\limits_{j = 1}^k \mathsf P(\xi_1 = a_i, \xi_2 = b_j), \ i \in \{1,...,n \}, $$

$$ \mathsf P(\xi_2 = b_j) = \sum\limits_{i = 1}^n \mathsf P(\xi_1 = a_i, \xi_2 = b_j), \ j \in \{1,...,k\}. $$

Для рассмотренного ранее примера с бросанием двух тетраэдров маргинальное распределение случайной величины $\xi_1$, показывающей сумму выпавших чисел, будет иметь следующий вид:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \xi & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \mathsf P & \frac{1}{16} & \frac{2}{16} & \frac{3}{16} & \frac{4}{16} & \frac{3}{16} & \frac{2}{16} & \frac{1}{16} \end{array} $$

[ NB ]

Зная совместное распределение случайных величин, мы можем написать распределение различных функций от этих случайных величин, в частности распределение суммы, разности или произведения. Знание маргинальных распределений не позволяет этого сделать.

Пример

Пусть задано совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ следующей таблицей $(r \in [0, 0.5])$