В этом разделе мы постараемся разобраться с основными системами множеств, которые в дальнейшем мы будем использовать при обсуждении меры. Как мы узнаем, мера — это функция множеств, а значит первое, что нужно сделать — это определить «область определения». Что же, здесь не все так просто, и начнем мы с некоторых абстрактных понятий.
В классическом анализе, которого мы касались ранее, аргументом функции обычно выступала одна или несколько числовых переменных. В ближайших разделах, однако, мы будем изучать функции, аргументами которых выступают множества.
Конечно, нам хочется, чтобы наша функция — мера — была определена на достаточно «хорошей» и «богатой» системе множеств. Например, чтобы вместе с двумя множествами наша система содержала их объединение, пересечение, разность, и прочее. Давайте определим такие системы.
Итак, начнем движение к нашей цели. Сначала договоримся о справедливости следующего замечания.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Мы всегда будем считать, что рассматривается некоторое фиксированное универсальное множество, которое, для удобства (и, на самом деле, сохранения некоторой общепринятости) обозначений мы в контексте всего дальнейшего изложения будем обозначать $X$.
Все рассматриваемые множества мы, как и положено, будем считать подмножествами множества $X$, поэтому для каждого множества $A$ корректно определено дополнение $A^c$:
$$ A^c := X \setminus A. $$
</aside>
Теперь начнем строить наши «богатые» системы множеств. Начнем с такого определения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие симметричной системы множеств)
Система множеств называется симметричной, если каждое множество входит в нее одновременно со своим дополнением.
</aside>
Итак, если $\mathfrak U$ — симметричная система множеств, то из того, что $A \in \mathfrak U$ непременно следует, что и $A^c \in \mathfrak U$.
Рассмотрим следующие свойства произвольной системы множеств $\mathfrak U$:
Оказывается, справедлива следующая лемма.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ]
Пусть $\mathfrak U$ — симметричная система множеств. Тогда свойство [$\sigma_0$] равносильно свойству [$\delta_0$] и свойство [$\sigma$] равносильно свойству [$\delta$].
Мы настоятельно советуем запомнить читателю, что символ $\sigma$ ассоциируется со счетным объединением, а $\delta$ — со счетным пересечением. Мы не раз будем прибегать к этим мнемоническим и, не побоимся этого слова, «общекультурным» правилам, принятым в теории вещественного анализа.
Сама же лемма утверждает, что для симметричной системы множеств правила: «содержу объединение» и «содержу пересечение» равносильны.
Введем одно из ключевых определений нашего курса.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие алгебры и $\sigma$-алгебры)
Непустая симметричная система множеств называется алгеброй, если она обладает (равносильными) свойствами [$\sigma_0$] и [$\delta_0$].
Алгебра называется $\sigma$-алгеброй, если она обладает (равносильными) свойствами [$\sigma$] и [$\delta$].
</aside>
