Понятие множества в рассматриваемом курсе будет первичным, неопределяемым. Не определяя понятия множества, тем не менее, мы укажем его свойства и правила обращения с ним. Другой подход, аксиоматический, использует математическая логика: аксиомы описывают свойства множества и правила построения одних множеств из других. Мы же будем работать в рамках так называемой «наивной» теории.
Само понятие «множество», обычно, интуитивно понятно каждому. Вместо него, в зависимости от ситуации, часто используют такие синонимы как «набор», «совокупность» и аналогичные слова. Например, множество цветов в вазе часто синонимично называют словом «букет», а множество студентов в аудитории — «группой» или «потоком».
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, например: $A, B, C$.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие элементов множества)
Множества состоят из объектов, называемых элементами множества.
</aside>
Элементы множества принято обозначать строчными латинскими буквами, например: $a, b, c$.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Запись $a \in A$ будет означать, что $a$ является элементом множества $A$ или, иначе, что $a$ входит в $A$.
</aside>
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Запись $a \notin A$ будет означать, что $a$ не является элементом множества $A$ или, иначе, что $a$ не входит в $A$.
</aside>
Понятно, что либо $a \in A$, либо $a \notin A$, третьего не дано.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Так как множество характеризуется лишь наличием или отсутствием того или иного элемента, то высказывание «множество $A$ содержит два элемента $a$» оказывается бессмысленным.
</aside>
Перечислим основные способы задания множества:
Множество может быть задано перечислением своих элементов, например:
$$ A = \{1, 5, 12, \text{стул}\}. $$
Множество может быть задано указанием характеристического свойства, например:
$$ A=\{x:\cos x = 1/2\} = \{x = \pm\pi/3 + 2\pi k, \ k \in \mathbb \{..., -1, 0, 1, ...\}\}. $$
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Последний способ задания множества в общем случае может быть описан следующим образом (впрочем, этот способ мы уже использовали).
Пусть $x$ — объект произвольной природы, а $P(x)$ — высказывание относительно объекта $x$. Тогда множество
$$ \left\{ x: P(x) \right\} $$
— это множество всех объектов, для которых высказывание $P$ истинно. Объекты в этом контексте — суть элементы построенного множества.
</aside>
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Элементами множества могут выступать и другие множества, например
$$ A = \{1, \{1 \}, \{3, 7\} \}. $$
У представленного множества $A$ три элемента: число $1$, множество $\{ 1 \}$, состоящее из одного элемента $1$, и двухэлементное множество $\{3, 7\}.$
</aside>
Следующее отступление предназначено в основном для въедливых и, конечно, интересующихся читателей, но будет полезно каждому.
Описанная свобода в задании множества может навести на мысль, что множество — не такое уж простое понятие. И правда, например, понятия множества всех множеств просто не существует.
Пусть $A$ — совокупность множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Если $A$ — множество, то либо $A$ содержит себя в качестве элемента, либо нет. Однако эта альтернатива для $A$ невозможна. Пусть $A$ не содержит себя в качестве элемента, тогда, согласно определению $A$, должно выполняться $A \in A$. С другой стороны, если $A \in A$, то это противоречит определению совокупности $A$, как множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Значит, $A$ — не множество.
