В этом разделе мы поговорим о так называемом интеграле с переменным верхним пределом, о его свойствах, а также придем к важному следствию из полученных свойств — к существованию первообразной у непрерывной функции.
Для начала введем основное определение этого пункта.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (интеграл с переменным верхним пределом)
Пусть $f \in R[a, b]$ и $x \in [a, b]$. Функция
$$ \Phi(x) := \int\limits_a^x f \ dx $$
называется интегралом с переменным верхним пределом.
</aside>
Заметим, что в силу пятого пункта свойств интегрируемых функций, определение корректно: функция $\Phi(x)$ определена при каждом $x \in [a, b].$
Наверное, определение прозрачно и с точки зрения геометрии, особенно при $f\geq0$: значение $\Phi(x)$ равно площади под графиком функции $f$ на промежутке $[a, x]$.
Введя в рассмотрение некоторую функцию, нельзя не исследовать ее на важнейшие с точки зрения анализа свойства: на непрерывность и на дифференцируемость.
Сразу сформулируем основную теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (о непрерывности $\Phi$)
$$ \Phi \in C[a, b]. $$
Теперь обратимся к исследованию $\Phi$ на дифференцируемость.
Вопрос о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом «в лоб» не решается.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Рассмотрим функцию $f(x)=\operatorname{sign}(x)$ и функцию
$$ \Phi(x)=\int\limits_{-1}^x \operatorname{sign}(t) \ dt, \quad x \in[-1, 1]. $$
Исследуем $\Phi$ на дифференцируемость в точке $x = 0.$ Пусть $\Delta x > 0$, тогда, пользуясь теоремой о независимости интеграла от значения ограниченной функции в конкретной точке, получим, что
$$ \Phi(\Delta x) - \Phi(0) = \int\limits_0^{\Delta x} \operatorname{sign}(t) \ dt = \int\limits_0^{\Delta x} 1 \ dt = \Delta x, $$
откуда
$$ \Phi'+(0) = \lim\limits{\Delta x \to 0 + } \frac{\Phi(\Delta x) - \Phi(0)}{\Delta x} = 1. $$
Рассуждая аналогичным образом при $\Delta x < 0$ приходим к тому, что
$$ \Phi(\Delta x) - \Phi(0) = \int\limits_0^{\Delta x} \operatorname{sign}(t) \ dt = -\int\limits_0^{\Delta x} 1 \ dt = -\Delta x, $$
откуда
$$ \Phi'-(0) = \lim\limits{\Delta x \to 0-} \frac{\Phi(\Delta x) - \Phi(0)}{\Delta x} = -1. $$
Значит, $\Phi$ недифференицруема в точке $0$.
</aside>
Итак, пример выше показывает, что интеграл с переменным верхним пределом от произвольной интегрируемой функции может оказаться функцией недифференцируемой. Однако, наложив на функцию достаточно естественные требования, ситуация радикально меняется.
