В этом пункте мы обсудим операции, которые не выводят из класса интегрируемых функций. В принципе, эти операции достаточно стандартны и, наверное, не удивительны.
Сформулируем самые основные результаты в следующей теореме. В случае, если известен критерий Лебега, все эти утверждения оказываются очевидными.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (свойства интегрируемых функций)
Пусть $f, g \in R[a,b]$, тогда:
Доказательство:
Итак, теорема выше устанавливает следующие, вряд ли являющиеся неожиданными для нас факты об интегрируемых функциях:
- вместе с любыми двумя функциями интегрируема и их линейная комбинация; иными словами, множество интегрируемых функций на отрезке $[a, b]$ образует линейное пространство;
- вместе с любыми двумя функциями интегрируемо и их произведение;
- если интегрируема функция, то интегрируем и ее модуль;
- если значения функции $f$ «отделены» от нуля, то интегрируема функция $1/f$;
- если функция интегрируема на большем множестве, то она интегрируема и на меньшем множестве; иначе — интегрируемо сужение функции на меньшее множество.
Обсудим отдельно некоторые дополнения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Утверждение 3 предыдущей теоремы, вообще говоря, не обратимо. Функция
$$ d(x) - \frac{1}{2} = \begin{cases} 0.5, & x \in \mathbb Q \\ -0.5, & x \in \mathbb I \end{cases}, $$
тесно связанная с функцией Дирихле, оказывается неинтегрируемой ни на одном отрезке, хотя ее модуль — всюду интегрируемая функция, так как
$$ \left| d(x) - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}. $$
</aside>
Отметим, что в пункте 4 просто требовать $f \neq 0$ недостаточно.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
В утверждении 4 предыдущей теоремы отказаться от $C$, просто написав $|f| > 0$, нельзя. Функция
$$ f(x) = \begin{cases}x, & x \in (0, 1] \\ 1, & x = 0 \end{cases} $$
не обращается в $0$ на отрезке $[0, 1]$, однако $1/f \notin R[0, 1]$, так как $1/f$ не ограничена на $[0, 1],$ что противоречит необходимому условию интегрируемости.
</aside>
Для дальнейшего изложения потребуется еще одно важное свойство интегрируемых функций, которое сформулировано ниже. Опять-таки, если известен критерий Лебега, то это свойство очевидно.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ]
Пусть $f \in R[a, c]$, $f \in R[c, b]$, тогда $f \in R[a, b]$.
Итак, теорема выше в некотором смысле обращает пункт 5 теоремы о свойствах интегрируемых функций: из интегрируемости на меньших множествах следует интегрируемость на объединении.
Наверное, многие задаются вопросом об интегрируемости композиции двух функций. Сразу отметим, что этот вопрос не решается так же прямолинейно, как мы решили предыдущие вопросы.
Начнем с примера.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Композиция двух интегрируемых функций может не быть интегрируемой. Рассмотрим функции $f(x)=\operatorname{sign} (x)$ и $r(x)$ — функция Римана. Обе эти функции, как мы знаем, интегрируемы, однако при $x \in [1, 2]$ их композиция оказывается равной $f(r(x)) = d(x)$ — функции Дирихле, которая, как мы знаем, неинтегрируема.
</aside>
Впрочем, какую-то теорему мы сформулировать все-таки можем. Опять-таки, если опираться на критерий Лебега, то теорема оказывается очевидной.
