В этом разделе мы окончательно и бесповоротно ответим на вопрос: какие же функции оказываются интегрируемыми по Риману. Такой критерий, который мы и планируем обсудить, называется критерием Лебега.
Обобщим изученные ранее достаточные условия, так или иначе говорящие про количество точек разрыва исследуемой на интегрируемость (вообще-то, ограниченной) функции. Для начала, чтобы говорить на одном языке, формально отметим (впрочем, конечно же известное) понятие длины промежутка.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие длины промежутка)
Пусть $\langle a, b \rangle$ — невырожденный (непустой) промежуток. Его длиной назовем величину
$$ |\langle a, b \rangle| = b- a. $$
</aside>
Итак, как бы это странно не звучало, длина промежутка — это его (стандартная для нашего понимания) длина.
Теперь обратимся к идеологически важному понятию — понятию множества лебеговой меры ноль.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие множества меры ноль)
Говорят, что множество $E \subset \mathbb R$ имеет лебегову меру ноль, если $\forall \varepsilon > 0$ найдется не более чем счетная система интервалов $I_n$, покрывающая $E$, что
$$ \sum\limits_n |I_n| < \varepsilon. $$
</aside>
Покажем, что это определение обобщает наши представления о множествах нулевой меры (например, о точке или конечном числе точек).
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Точка — множество лебеговой меры ноль. Действительно, пусть $x_0 \in \mathbb R$ и $\varepsilon > 0$. Положим
$$ I_1 = \left(x_0 - \frac{\varepsilon}{3}, x_0 + \frac{\varepsilon}{3} \right), \quad |I_1| = \frac{2\varepsilon}{3}. $$
Итак, для точки $x_0$ и произвольного наперед заданного положительного числа $\varepsilon$, мы нашли всего один интервал, покрывающий точку $x_0$, длины меньше $\varepsilon$, и попали в условие определения множества нулевой меры.
</aside>
Приведем еще один пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Предыдущий пример легко обобщается на конечное число точек. Действительно, пусть $x_1, ..., x_n \in \mathbb R$$x_1, \ldots, x_n \in \mathbb R$$\varepsilon > 0$. Положим
$$ I_i = \left(x_0 - \frac{\varepsilon}{3n}, x_0 + \frac{\varepsilon}{3n} \right), \quad |I_i| = \frac{2\varepsilon}{3n}, \quad i \in \{1, \ldots, n\}. $$
Ясно, что
$$ \sum\limits_{i = 1}^n |I_i| = \frac{2\varepsilon}{3}, $$
а значит мы вновь попадаем в условия определения множества нулевой меры.
</aside>
Вместо того, чтобы обобщить предыдущий пример, скажем, на счетное число точек, докажем следующее утверждение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (свойства множества меры ноль)
Справедливы утверждения:
Доказательство:
Может показаться, что любое множество имеет нулевую меру. Это не так. Докажем следующую вспомогательную лемму.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о том, что отрезок, вообще говоря, не множество меры ноль)
Пусть отрезок $[a, b]$ покрыт не более чем счетной системой интервалов $I_n$. Тогда
$$ \sum\limits_n |I_n| > b-a. $$
Итак, доказанныя лемма, во-первых, устанавливает, что отрезок ненулевой длины — не множество меры ноль. Во-вторых, она устанавливает геометрически очевидный факт: сумма длин элементов покрытия отрезка не может быть меньше, чем длина этого отрезка.
Ясно также, что покрытие не более чем счетной системой интервалов можно заменить на систему интервалов, занумерованную любым семейством. Доказательство остается неизменным.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Отметим следующее важное замечание. Бывают континуальные множества, имеющие нулевую лебегову меру. На прямой (в одномерном пространстве), однако, построение таких множеств — не самое простое дело. В качестве примера упомянем множество Кантора, подробно изучаемое в дальнейшем.
</aside>
В заключение этого пункта отметим еще одну чисто техническую лемму.
