В этом разделе мы обсудим важные свойства меры Лебега, а также покажем существование неизмеримых множеств и приведем полезный для дальнейшего пример множества Кантора.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (простейшие свойства меры Лебега)
Мера Лебега обладает следующими свойствами:
Открытые множества измеримы. Мера непустого открытого множества положительна.
Замкнутые множества измеримы. Мера одноточечного множества равна нулю.
Мера измеримого ограниченного множества конечна. Всякое измеримое множество есть объединение последовательности множеств конечной меры.
Для меры Лебега справедлив доказанный критерий измеримости.
Счетное объединение множеств меры ноль имеет меру ноль. В частности, любое счетное множество имеет меру ноль.
Множество нулевой меры не имеет внутренних точек.
Пусть $n, k \in \mathbb N$, $n \geq 2$, $k \in \{1, 2, \ \ldots, n\}$ и пусть $c \in \mathbb R$. Пусть
$$ H_k(c) = \left\{x=(x_1, x_2, \ \ldots, x_n) \in \mathbb R^n: \ x_k = c\right\} $$
— (гипер)плоскость, ортогональная $k$-ой координатной оси. Тогда $\lambda_n(H_k(c)) = 0$.
Всякое множество, содержащееся в не более чем счетном объединении (гипер)плоскостей имеет нулевую ($n$-мерную) меру Лебега.
Доказательство:
</aside>
Из 8 свойства, в частности, следует, что мера открытого параллелепипеда $(a, b)$, замкнутого параллелепипеда $[a, b]$ и ячейки $[a, b)$ одинаковы.
Покажем теперь, что существуют неизмеримые по Лебегу множества. Для этого докажем даже более сильное утверждение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о существовании неизмеримых множеств)
Всякое множество положительной меры содержит неизмеримое по Лебегу подмножество.
Построенное множество часто называют множеством Витали.
Отметим теперь и идеологически важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ] (о построении неизмеримого множества и свойствах меры)
При построении неизмеримого по Лебегу множества мы не использовали никаких свойств меры Лебега, кроме двух: конечность на ограниченных множествах, и инвариантность относительно сдвига. Это значит, что неизмеримые множества существуют для любой (ненулевой) меры, обладающей этими двумя (естественными для нас) свойствами.
Заметим также, что если отказаться от свойства счетной аддитивности, ограничившись лишь конечной аддитивностью, то можно доказать следующее: существует заданный на системе всех подмножеств $\mathbb R^n$ объем, инвариантный относительно сдвигов и совпадающий на $\mathfrak U^n$ с мерой Лебега $\lambda_n$.
</aside>
Полезно отметить, что то, что мера не может быть естественным образом продолжена на множество всех подмножеств рассматриваемого множества $X$ — не патология, а, в каком-то смысле, обыденность.
Допустим, что у нас есть «куча» ботинок одинакого размера, фасона, цвета и проч. Каждая «правильная» пара ботинок (левый и правый) имеют цену, также как и набор из нескольких «правильных» пар. Продолжить эту меру-цену на множество всех подмножеств нашей «кучи» разумным образом невозможно. Действительно, если множество, образованное двумя «правильными» парами, разбить на две части, одна из которых состоит только из левых, а другая — только из правых ботинок, то суммарная стоимость этих частей, если они имеют цену, должна сохраниться. Но тогда хотя бы одна из частей должна стоить не меньше «правильной» пары, что абсурдно.
Легко проверить, что при $n \geq 2$ существуют несчетные множества нулевой меры $\lambda_n$. Например, при $n = 2$ график любой прямой вида $x = const$ или $y = const$ имеет Лебегову меру $\lambda_2$, равную нулю. Этот пример обобщается и на более высокие размерности.
В этом разделе мы поговорим про один весьма известный и к тому же чрезвычайно полезный пример — пример континуального множества (в $\mathbb R$), имеющего нулевую меру Лебега. Оказывается, построение такого примера (множества Кантора) — это некоторая задача. Сам же пример поможет нам в дальнейшем еще не раз.
Пусть $\Delta = [0, 1]$ и пусть множество $C_1$ получается из множества $\Delta$ удалением его центральной трети:
$$ C_1 = \Delta \setminus \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) = \left[0, \frac{1}{3}\right] ;\left[\frac{2}{3}, 1 \right]. $$
Полученные множества $\Delta_0 = \left[0, \dfrac{1}{3}\right]$ и $\Delta_1 =\left[\dfrac{2}{3}, 1 \right]$ назовем множествами первого ранга.
