В этом разделе мы обсудим один достаточно общий критерий измеримости множества, который будет полезен для нас в дальнейшем.
Приведем следующий удобный критерий измеримости, справедливый для любой полной меры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (критерий измеримости множества)
Пусть $(X, \mathfrak U, \mu)$ — измеримое пространство с полной мерой $\mu$ и $E \subset X$. Для того чтобы множество $E$ было измеримо необходимо и достаточно чтобы
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists A_\varepsilon, B_\varepsilon \in \mathfrak U : \ A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon \ \text{ и } \ \mu(B_\varepsilon \setminus A_\varepsilon) < \varepsilon. $$
В частности для того чтобы множество $E$ было измеримо и имело нулевую меру необходимо и достаточно, чтобы
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists B_\varepsilon \in \mathfrak U : \ E \subset B_\varepsilon \ \text{ и } \ \mu(B_\varepsilon) < \varepsilon. $$
Доказательство:
