В данном пункте мы будем заниматься вопросом сужения всюду определенной функции множеств, так называемой внешней меры, до меры. В дальнейшем это нам поможет распространить меру с полукольца на $\sigma$-алгебру.
Напомним, что в качестве основного множества у нас, как и раньше, выступает некоторое множество $X$. Введем понятие внешней меры, определенной на любом подмножестве множества $X$.
Отметим, что мы, в каком-то смысле, бросаемся из крайности в крайность. С одной стороны, до этого мы говорили, что объем просто-напросто невозможно разумным образом (самостоятельно) определить на богатой системе множеств, поэтому отдавали предпочтение такой обозримой и, в то же время, бедной системе множеств как полукольцо. С другой стороны, теперь мы хотим определить некоторую функцию на множестве всех подмножеств заданного множества $X$. Что же поменялось?
А вот что. Определив объем на полукольце $\mathcal P$ мы, быть может, сможем «приблизить» элементами $\mathcal P$ и интересующие нас множества более хитрой «формы», а значит, осуществив что-то вроде предельного перехода — типичного для анализа приема — и их объем. Давайте приступим к реализации.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие внешней меры)
Пусть $\mathfrak U(X) = 2^X$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств множества $X$.
Функция $\tau: \mathfrak U(X) \to [0, + \infty]$ называется внешней мерой, заданной на $X$, если $\tau(\varnothing)=0$ и $\tau$ — счетно-полуаддитивна, то есть
$$ A \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty A_n \quad A, \ A_n \in \mathfrak U(X) \ \Rightarrow \ \tau(A) \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty \tau(A_n). $$
</aside>
Итак, внешняя мера — это неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств основного множества, которая, как и мера, дает ноль на пустом множестве и, опять-таки, как и мера, обладает свойством счетной полуаддитивности.
Значит, если мы сможем выделить некоторую систему подмножеств $\mathfrak U$ всеобъемлющей системы множеств $\mathfrak U(X)$, на которой $\tau$ будет аддитивной, то сужение $\tau$ на эту систему будет мерой. Что же, приступим к выполнению намеченного плана.
Сразу отметим два достаточно очевидных свойства внешней меры, следующих прямиком из определения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о свойствах внешней меры)
Пусть $\tau$ — внешняя мера, заданная на $X$. Тогда:
$\tau$ конечно-полуаддитивна, то есть
$$ A \subset \bigcup\limits_{n = 1}^k A_n, \quad A, \ A_n \in \mathfrak U(X) \ \Rightarrow \ \tau(A) \leq \sum\limits_{n = 1}^k \tau(A_n). $$
$\tau$ монотонна, то есть
$$ A \subset B, \quad A, \ B \in \mathfrak U(X) \ \Rightarrow \ \tau(A) \leq \tau(B). $$
Доказательство:
Теперь приступим к выделению такой алгебры множеств, на которой внешняя мера окажется аддитивной. Если $A$ и $E$ — множества из этой алгебры, то, очевидно,
$$ \tau(E) = \tau(E \cap A) + \tau(E \setminus A). $$
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие $\tau$-измеримого множества)
Пусть $\tau$ — внешняя мера, заданная на $X$. Множество $A$ называется $\tau$-измеримым, если для любого $E \subset X$ выполняется равенство
$$ \tau(E) = \tau(E \cap A) + \tau(E \setminus A). $$
</aside>
Итак, множество $A$ оказывается $\tau$-измеримым в том и только том случае, когда оно аддитивно разбивает любое множество из $\mathfrak U(X)$.
Попробуем дать неформальное пояснение введенному определению.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" />
[ NB ]
Давайте вспомним то, как по сути вводилась мера (Жордана) ограниченного подмножества $A \subset \mathbb R^2$. Мы строили вписанные в и описанные вокруг $A$ многоугольники (по сути — верхние и нижние суммы Дарбу по множеству $A$ для $f(x,y)=1$). Нижний и верхний интегралы Дарбу при этом давали что-то вроде «внутренней» и «внейшней» площадей $A$. Само же множество $A$ оказывалось измеримым по Жордану в случае совпадения этих двух площадей. Здесь ситуация похожа.
Предположим, что $E$ — какое-то «неплохое» множество, причем $A \subset E$, а $\tau$ — внешняя мера. Тогда, если $\tau$ — мера, то
$$ \tau(E) = \tau(E \cap A) + \tau(E \setminus A) \overset{A \subset E}{=} \tau(A) + \tau(E \cap A^c) \ \Rightarrow \ \\ \ \Rightarrow \tau(A) = \tau(E) - \tau(E \cap A^c). $$
Слева стоит, как мы видим, внешняя мера $A$, а справа — что-то вроде «внутренней» меры $A$. Для $\tau$-измеримости $A$ нам нужно, чтобы это равенство сохранялось для любого $E$.
</aside>
Теперь отметим важное техническое замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Понятно, что равенство
$$ E = (E \cap A) \vee (E \setminus A) $$
справедливо для любых множеств $A$, $E$. В то же время, в силу конечной полуаддитивности внешней меры,
$$ \tau(E) \leq \tau(E \cap A) + \tau (E \setminus A). $$
Это значит, что для проверки $\tau$-измеримости $A$ достаточно лишь установить справедливость обратного неравенства, то есть неравенства
$$ \tau(E) \geq \tau(E \cap A) + \tau (E \setminus A). $$
Так мы в дальнейшем и будем поступать.
</aside>
Отметим и еще одно важное замечание, которое в дальнейшем приведет нас к свойству полноты меры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Если $\tau(A) = 0$, то, в силу монотонности внешней меры, $\tau(E \cap A) = 0$, а значит, снова в силу монотонности,
$$ \tau(E) \geq \tau(E \setminus A), $$
а значит
$$ \tau(E) \geq \tau(E \cap A) + \tau (E \setminus A). $$
Итого, все множества, имеющую внешнюю меру, равную нулю, оказываются $\tau$-измеримыми.
</aside>
