В данном разделе мы обсудим важнейшее понятие — понятие полукольца множеств. Именно с полукольца мы обычно и будем начинать построение наших мер.
Чтобы задать действие какой-то функции, нужно сказать как эта функция действует на каждом элементе области определения. Если область определения богата, то, с одной стороны, это хорошо, а с другой доставляет проблемы: как «перечислить» все результаты действия функции? В случае числовых аргументов иногда это удавалось сделать весьма лаконично, например $f(x)=x^2: \mathbb R \to \mathbb R$. Но что делать в случае функции множеств?
Если нам удастся найти какую-то «обозримую» систему множеств, то на ней мы можем определить функцию множеств, задав ее действие на каждом элементе этой системы. Именно поэтому, при построении меры одним из основных (на первоначальном этапе) объектов для нас будет служить полукольцо — в отличие от алгебры, а тем более от $\sigma$-алгебры, достаточно обозримая система множеств.
Что делать дальше — это уже другой вопрос. Однако, приоткроем завесу тайны уже здесь: дальше мы распространим нашу функцию с полукольца на $\sigma$-алгебру.
Пока же давайте введем понятие полукольца.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие полукольца)
Система подмножеств $\mathcal P$ множества $X$ называется полукольцом, если выполняются следующие условия:
$\varnothing \in \mathcal P$.
Если $A, B \in \mathcal P$, то $A \cap B \in \mathcal P$.
Если $A, B \in \mathcal P$, то
$$ A \setminus B = \bigvee_{n = 1}^m Q_n, \quad Q_n \in \mathcal P. $$
</aside>
В итоге, полукольцо — это непустая система подмножеств, содержащая пустое множество, замкнутая относительно пересечения, и позволяющая разность своих элементов представить в виде дизъюнктного объединения «более мелких» своих же элементов.
Отметим отдельно, что ни разность, ни объединение элементов полукольца, вообще говоря, полукольцу не принадлежат.
Приведем важнейшие (!) для нас примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (полукольца ячеек с вещественными и рациональными координатами)
Пусть $X = \mathbb R$, $\mathcal P$ — система всевозможных промежутков вида $[a, b)$, где $a, b \in \mathbb R$, и $a \leq b$. Эта система, как легко проверить, является полукольцом. Будем обозначать ее $\mathcal P^1$.
Если вместо $a, b \in \mathbb R$ потребовать $a, b \in \mathbb Q$, то получившаяся система снова будет полукольцом. Будем обозначать ее $\mathcal P_r^1$. Эта система, очевидно, счетная.
</aside>
Приведем и более абстрактные, но не менее важные примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Любая алгебра (и, тем более, $\sigma$-алгебра) есть полукольцо.
Если $\mathcal P$ — полукольцо, то
$$ \mathcal P \cap Y:=\{P \cap Y, \ P \in \mathcal P\} $$
— полукольцо.
Система попарно дизъюнктных множеств, содержащая пустое множество, — полукольцо. </aside>
Теперь перейдем к важным для дальнейшего изложения свойствам полукольца.
Отметим часто используемые в дальнейшем свойства полукольца.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о свойствах полукольца)
Пусть $\mathcal P$ — полукольцо, $P, P_1, \ \ldots, P_n, \ \ldots \in \mathcal P$. Тогда справедливы следующие свойства:
Обобщение третьего свойства полукольца:
$$ P \setminus \bigcup\limits_{n = 1}^N P_n = \bigvee\limits_{j = 1}^m Q_j, \quad Q_j \in \mathcal P. $$
Измельчение элементов конечного объединения:
$$ \bigcup\limits_{n = 1}^N P_n = \bigvee\limits_{n = 1}^N \bigvee_{j = 1}^{m_n} Q_{nj}, \quad Q_{nj} \subset P_n, \quad Q_{nj} \in \mathcal P. $$
Измельчение элементов счетного объединения:
$$ \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n = \bigvee\limits_{n = 1}^\infty \bigvee_{j = 1}^{m_n} Q_{nj}, \quad Q_{nj} \subset P_n, \quad Q_{nj} \in \mathcal P. $$
Доказательство:
Итак, первое утверждение доказанной леммы обобщает третье свойство полукольца, а второе и третье позволяют измельчать объединение элементов полукольца еще более мелкими его элементами.
Второе свойство в предыдущей лемме можно несколько усилить (и нам это усиление иногда будет чрезвычайно полезно).
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ]
Пусть $\mathcal P$ — полукольцо, $P_1, P_2, ..., P_N\in \mathcal P$. Тогда
$$ \bigcup\limits_{n = 1}^N P_n = \bigvee\limits_{j = 1}^m Q_j, \quad Q_j \in \mathcal P, $$
причем для любых $j \in \{1, 2,\ \ldots, m\}$ и $n \in \{1, 2,\ \ldots, N\}$ справедлива альтернатива: либо $Q_j$ содержится в $P_n$, либо их пересечение пусто.
