В этом разделе мы, наконец-таки, введем ключевое понятие — понятие меры, а также изучим ее «непрерывные» свойства.
Понятно, что в математике свойство конечной аддитивности — несколько обременительно. Да и вообще, хоть сколько-то интересные моменты в анализе возникают после слов «предельный переход». Вот и мы, следуя традициям, обобщим понятие объема, перейдя к качественно другой теории.
Сразу введем ключевое определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие меры)
Объем $\mu$, заданный на полукольце $\mathcal P$, называется счетно-аддитивным, если для любого $P \in \mathcal P$ и любого его не более чем счетного разбиения $P_1, P_2, \ \ldots , P_n, \ \ldots \in \mathcal P$ справедливо равенство
$$ \mu(P) = \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(P_i). $$
Счетно-аддитивный объем называется мерой.
</aside>
Приведем какие-то (пока что не всегда «доказанные») примеры, важные для нас в дальнейшем.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (классический n-мерный объем)
Классический $n$-мерный объем является мерой. Докажем мы это несколько позже.
</aside>
Теперь обсудим ситуацию с объемом, порожденным функцией.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (объем, порожденный функцией)
Пусть $X = \mathbb R$, $\mathcal P = \mathcal P^1$ — полукольцо одномерных ячеек, $f$ — возрастающая функция, заданная на $\mathbb R$ и
$$ \nu_f[a, b) = f(b) - f(a). $$
Выясним, какое необходимое условие придется наложить на функцию $f$, чтобы данный объем мог претендовать на то, чтобы быть мерой.
Рассмотрим разбиение ячейки $[a, b)$ вида
$$ [a, b) = \bigvee\limits_{n = 1}^\infty [a_{n-1}, a_{n}), \quad a_{n-1} < a_{n}, \ \lim\limits_{n \to + \infty} a_n = b, \ a_0:=a. $$
Если введенный объем счетно-аддитивен, то
$$ f(b) - f(a) = \nu_f[a, b) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \nu_f[a_{n-1}, a_{n}) = \sum\limits_{n = 1}^\infty(f(a_{n}) - f(a_{n-1})) = \\ = \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n = 0}^N(f(a_{n}) - f(a_{n-1})) = \lim\limits_{N \to \infty} (f(a_{N}) - f(a_0)) = \lim\limits_{N \to \infty} f(a_{N}) - f(a). $$
Это значит, что для того, чтобы введенный объем был счетно-аддитивным (или, что то же самое, мерой), необходимо, чтобы функция $f$ была непрерывна слева. Позже мы докажем, что написанное условие является и достаточным.
Можно получить меру и с помощью произвольной возрастающей функции $f$ по правилу:
$$ \nu_f[a, b) = f(b-0) - f(a-0), $$
где $f(b - 0)$ и $f(a-0)$ — пределы функции в точках $b$ и $a$ слева, соответственно.
</aside>
Вернемся к примеру объема, порожденного нагрузками.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (мера, порожденная нагрузками)
Пусть $\omega_x \geq 0$, $x \in X$ и $\mathfrak U$ — некоторая алгебра подмножеств множества $X$, содержащая все одноточечные множества. Договорившись о соглашении, что
$$ \sum\limits_{x \in \varnothing} \omega_x = 0, $$
мы задали объем следующим образом:
$$ \mu(A) = \sum\limits_{x \in A} \omega_x = \sup\left\{\sum\limits_{x \in E} \omega_x, \ \ E \subset A, \ \ |E| < + \infty\right\}, \quad A \in \mathfrak U. $$
Покажем, что данный объем является мерой, то есть что он счетно-аддитивен.
Пусть
$$ A = \bigvee\limits_{i = 1}^\infty A_i, \quad A_i, \ A \in \mathfrak U. $$
Ясно, что при каждом $N \in \mathbb N$ выполняется включение:
$$ \bigvee\limits_{i = 1}^N A_i \subset A. $$
Тогда, в силу усиленной монотонности объема, при каждом $N \in \mathbb N$
$$ \sum\limits_{i = 1}^N \mu(A_i) \leq \mu(A), $$
а значит, переходя к пределу в последнем неравенстве, приходим к тому, что
$$ \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(A_i) \leq \mu(A) $$
Установим теперь противоположное неравенство. Пусть $E$ — произвольное конечное подмножество множества $A$, тогда
$$ \exists N \in \mathbb N: \ E \subset \bigvee_{i = 1}^N A_i, $$
а значит, в силу полуаддитивности объема,
$$ \mu(E) \leq \sum\limits_{i = 1}^n \mu(A_i) \leq \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(A_i), $$
где последнее неравенство верно в силу неотрицательности объема. Значит, переходя к супремуму в левой части полученного неравенства, имеем:
$$ \mu(A) = \sup \left\{\sum\limits_{x \in E} \omega_x, \ E \subset A, \ |E| < + \infty \right\} \leq \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(A_i). $$
Объединяя только что полученный вывод с ранее доказанным неравенством, приходим к счетной аддитивности рассматриваемого объема, а значит и к тому, что этот объем — мера.
</aside>
Установим некоторые важные свойства, характеризующие меры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерий счетной аддитивности)
Пусть $\mu$ — объем, определенный на полукольце $\mathcal P$. Объем $\mu$ является мерой тогда и только тогда, когда он является счетно-полуаддитивным, то есть если
$$ P \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n, \quad P,\ P_n \in \mathcal P \ \Rightarrow \ \mu(P) \leq \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu(P_n). $$
Доказательство:
Из доказанной теоремы вытекает одно важное и часто используемое следствие.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ] (о счетном объединении множеств меры ноль)
Пусть мера $\mu$ определена на $\sigma$-алгебре $\mathfrak U$. Тогда счетное объединение множеств меры ноль — суть множество меры ноль.
То, что в качестве области определения меры $\mu$ в предыдущем следствии постулируется $\sigma$-алгебра — весьма важный момент. Это гарантирует то, что мера счетного объединения как минимум определена. Например, областью определения меры Жордана является алгебра, но не $\sigma$-алгебра.
