5. Объем и его свойства

В этом разделе мы изучим важную предпосылку к понятию меры — понятие неотрицательной и конечно-аддитивной функции множеств — объема.

Понятие объема

Для начала зададимся таким вопросом: а что же из себя должен представлять объем? Наверное нам хочется, чтобы объем представлял из себя некоторую неотрицательную функцию, определенную на достаточно богатой системе множеств, которая на пустом множестве выдавала бы ноль, а также которая объем целого могла аддитивно составлять из объема частей.

С системами множеств и их богатостями мы уже разобрались, а вот с аддитивностью — нет. С этого и начнем.

Введем следующее определение.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие аддитивной функции)

Пусть $\Sigma$ — некоторая система подмножеств множества $X$, $\varphi: \Sigma \to \mathbb R \cup \{+ \infty\}$.

Функция $\varphi$ называется аддитивной, если

$$ \varphi \left(A \vee B \right) = \varphi(A) + \varphi(B), \quad A, \ B,\ A \vee B \in \Sigma. $$

</aside>

Итак, аддитивная функция решает вопрос с разбиением целого на части: если целое обладает какой-то характеристикой, и целое может быть разбито на непересекающиеся части, то характеристика целого есть сумма характеристик частей. А точно ли решает?

Дополним предыдущее определение следующим.

Пусть $\Sigma$ — некоторая система подмножеств множества $X$, $\varphi: \Sigma \to \mathbb R \cup \{+ \infty\}$.

Функция $\varphi$ называется конечно-аддитивной, если для любого $A \in \Sigma$ и любого его конечного разбиения $A_1, A_2, ..., A_n \in \Sigma$ справедливо равенство:

$$ \varphi(A) = \sum\limits_{i = 1}^n \varphi(A_i). $$

</aside>

Отметим следующее «объемное» замечание.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Во-первых, в обоих приведенных определениях суммы, стоящие справа, определены корректно, если придерживаться соглашения об операциях с «положительными» бесконечностями.
Легко понять, что из конечной аддитивности следует аддитивность, но, вообще говоря, не наоборот. Пусть $\Sigma = \{a, b, c, \{a, b, c\}\}$ и пусть

$$ \varphi(a) = \varphi(b) =\varphi(c)=1, \ \varphi(\{a, b, c\}) = 4. $$

Видно, что не смотря на то, что $\{a, b, c\} = \{a\}\vee \{b\} \vee \{c\}$,

$$ \varphi(\{a, b, c\}) = 4\neq 3 = \varphi(a) + \varphi(b) + \varphi(c). $$

Аналогичный пример можно построить, потребовав, чтобы $\Sigma$ была полукольцом подмножеств некоторого множества $X$.
Понятно, что если $\Sigma$ — хотя бы кольцо, то из аддитивности следует и конечная аддитивность (благодаря индукции). </aside>

Более содержательные и интересные для нас примеры мы встретим уже в следующем пункте, поэтому на данный момент на них останавливаться не будем.

Дадим теперь интересующее нас определение.

Конечно-аддитивная функция $\mu: \mathcal P \to [0, + \infty]$, заданная на полукольце $\mathcal P$ подмножеств множества $X$, называется объемом, если $\mu(\varnothing) = 0$.

</aside>

Итак, мы включили в определение все то, чего хотели: неотрицательность, конечную аддитивность и нормировку на пустом множестве. Эти нехитрые требования позволят нам получить весьма полезные и важные свойства, речь о которых пойдет ниже.

Введем еще одно определение.

Объем $\mu: \mathcal P \to [0, + \infty]$ называется конечным, если $X \in \mathcal P$ и $\mu(X) < +\infty$.

Объем называется $\sigma$-конечным, если $X$ представимо в виде объединения последовательности множеств, объемы которых конечны.

</aside>

Перейдем к примерам и «примерим» введенные определения к реальным системам.