В этом разделе мы поговорим о полезном для дальнейшего расширении множества вещественных чисел.
Часто бывает удобно добавить к множеству $\mathbb R$ два формальных элемента: символы $+\infty$ и $- \infty$. Чтобы дальнейшая работа с этим множеством была корректной, требуется установить правила работы с добавленными элементами.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие расширенного множества вещественных чисел)
Множество $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty \}$ называется расширенным множеством вещественных чисел, а символы $-\infty, +\infty$ — минус и плюс бесконечностями, соответственно, причем:
$$ x + (\pm \infty) = (\pm \infty) + x = \pm\infty, \quad x \in \mathbb{R}, \\ x \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot x = \begin{cases} \pm \infty, & x > 0 \\ \mp\infty, & x < 0 \end{cases}, \\ \frac{x}{\pm \infty} = 0, \\ (\pm\infty) + (\pm\infty) = \pm\infty, \\ (+\infty) \cdot (+\infty) = (-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty, \\ (+\infty) \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty, \\ -\infty < x < +\infty, \quad x \in \mathbb{R}. $$
</aside>
Мотивировка введенных операций вполне себе понятна интуитивно, однако их истинную природу мы поймем чуть позже, когда будем говорить о теории предела и арифметических операциях над пределами.
Впрочем, некоторая мотивировка видна и здесь. Согласно третьему описанному равенству, если пользоваться свойствами операций над числами, мы получаем, что $x = 0 \cdot (\pm \infty)$ для $x \neq 0$, что абсурдно.
Данное наблюдение еще раз показывает, что к написанным свойствам стоит относиться именно как к тем, «которые написаны», не позволяя себе применять какие-либо другие свойства вещественных чисел.
Отметим лаконично вытекающее важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Выражениям
$$ (+\infty) + (-\infty), \ (+\infty) - (+\infty), \ (-\infty) - (-\infty), \ 0 \cdot (\pm \infty), \ (\pm \infty) \cdot 0 $$
не приписывается никакого значения. Такие выражения называются неопределенностями. Кроме данных неопределенностей, в дальнейшем нам встретятся неопределенности вида
$$ \frac{0}{0}, \ \frac{\infty}{\infty}, \ 1^{\infty}, \ \infty^0, \ 0^0. $$
Мотивировку как определенных операций, так и неопределенных, мы, как уже было отмечено, поймем при изучении теории предела.
</aside>
