В этом пункте мы установим интегрируемость важнейшего класса функций — непрерывных функций. Оказывается, сам факт того, что непрерывные функции оказываются интегрируемыми, тесно связан с таким свойством непрерывных на отрезке функций, как равномерная непрерывность.
Сразу сформулируем и докажем основную теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об интегрируемости непрерывной функции)
$$ f \in C[a, b] \ \Rightarrow \ f \in R[a, b]. $$
Доказанная теорема позволяет нам, в частности, ответить на вопрос, поставленный в самом начале обсуждения определенного интеграла. Да, для функции $x^2$ мы все сделали верно: по доказанной теореме результат не изменится ни от способа дробления промежутка, ни от способа выбора промежуточных точек, ведь функция $x^2$ непрерывна на $[0,1]$.
Перейдем теперь к некоторому обобщению доказанной теоремы.
Конечно, интегрируемыми оказываются не только непрерывные функции. Кажется, что, например, (разумное) нарушение непрерывности в одной или нескольких точках тоже не должно помешать интегрируемости, ведь интегрируемость — не какое-то локальное свойство.
Сформулируем наши размышления аккуратно.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (об интегрируемости ограниченной функции с конечным числом точек разрыва)
Пусть $f$ задана и ограничена на $[a, b]$. Пусть, кроме того, множество точек разрыва функции $f$ конечно. Тогда $f \in R[a, b]$.
Приведем некоторые примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
На основании теоремы можно утверждать, что функция
$$ \operatorname{sign} x = \begin{cases}-1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} $$
интегрируема на любом отрезке $[a, b]$.
</aside>
Интегрируемые функции могут иметь разрывы и второго рода.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Согласно доказанной теореме, функция
$$ f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$
интегрируема на любом отрезке $[a, b]$.
</aside>
В общем и целом, интегрируемые функции могут иметь даже континуум точек разрыва. Это можно установить с использованием, например, критерия Лебега интегрируемости функции (по Риману). Мы сейчас не будем обсуждать этот критерий, вернувшись к нему при изучении кратных интегралов.
