В этом разделе мы поговорим про ограниченность числовых множеств, про максимум и минимум и про, скорее всего, новые понятия, про супремум и инфимум.
Мы то и дело будем использовать фразы вроде: «что-то ограничено». А что это означает? Введем понятия ограниченности множества.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятия ограниченности сверху и снизу)
Множество $X \subset \overline{\mathbb{R}}$ называется ограниченным сверху, если
$$ \exists M \in \mathbb{R} : \ \forall x \in X \ \ x \leq M. $$
Число $M$ называется верхней границей для $X$.
Множество $X \subset \overline{\mathbb{R}}$ называется ограниченным снизу, если
$$ \exists m \in \mathbb{R} : \ \forall x \in X \ \ x \geq m. $$
Число $m$ называется нижней границей для $X$.
</aside>
Итак, множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число, не меньшее (не большее) всех элементов рассматриваемого множества.
Теперь дадим определение ограниченному множеству.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие ограниченного множества)
Множество $X \subset \overline{\mathbb{R}}$ называется ограниченным, если
$$ \exists M, m \in \mathbb{R} : \ \forall x \in X \ \ m \leq x \leq M. $$
</aside>
По сути дела, ограниченное множество — это множество, ограниченное как сверху, так и снизу.
Приведем примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть
$$ A = \{x \in \mathbb{R}: \ 0 \leq x < 1 \}. $$
Ясно, что это множество ограничено как сверху, например, числом $1$, так и снизу, например, числом $0$.
Можно утверждать и следующее: множество верхних границ множества $A$ — это множество $[1, +\infty)$, а множество нижних границ множества $A$ — это множество $(-\infty, 0]$.
</aside>
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть
$$ A = (-\infty, 3). $$
Ясно, что это множество ограничено сверху, например, числом $3$, но не ограничено снизу.
Можно утверждать и следующее: множество верхних границ множества $A$ — это множество $[3, +\infty)$, а множество нижних границ множества $A$ пусто.
</aside>
Приведем следующую техническую лемму, часто использующуюся в дальнейшем.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (критерий ограниченности множества)
Множество $X \subset \overline{\mathbb{R}}$ ограничено тогда и только тогда, когда
$$ \exists C \in \mathbb{R}, \ C > 0 : \ \forall x \in X \ \ -C \leq x \leq C, $$
или, что то же самое,
$$ \exists C \in \mathbb{R}, \ C > 0 : \ \forall x \in X \ \ |x| < C. $$
Доказательство:
Теперь введем понятия максимального и минимального элементов множества.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятия максимального и минимального элементов)
Элемент $M \in X \subset \overline{\mathbb{R}}$ называется максимальным (наибольшим) элементом множества $X$, если
$$ \forall x \in X \ \ x \leq M. $$
Обозначают это так: $M = \max X$.
Элемент $m \in X \subset \overline{\mathbb{R}}$ называется минимальным (наименьшим) элементом множества $X$, если
$$ \forall x \in X \ \ x \geq m. $$
Обозначают это так: $m = \min X$.
</aside>
Важно отметить, что и минимальный, и максимальный элементы обязаны принадлежать рассматриваемому множеству. Это обязательство вызывает некоторые «неприятные» последствия. А именно — эти элементы существуют не всегда даже в случае ограниченности множества.
Приведем пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть
$$ A = \{x \in \mathbb{R}: \ 0 \leq x < 1 \}. $$
Совершенно очевидно, что $0=\min A$. В то же время, максимума у данного множества не существует вовсе. Действительно, предположив, что существует $M=\max A$, рассмотрим число
$$ \frac{M+1}{2}. $$
Так как $M \in A$, то $M < 1$, а значит
$$ M = \frac{M + M}{2} < \frac{M+1}{2} < \frac{1 + 1}{2} = 1, $$
и рассматриваемое число, с одной стороны (благодаря правому неравенству), лежит в $A$, а с другой стороны (благодаря левому неравенству) строго больше $M$, что противоречит определению максимального элемента.
</aside>
