В этом разделе мы обсудим геометрически понятный и для дальнейшего важный принцип Архимеда.

Принцип Архимеда

До сих пор мы использовали аксиому непрерывности лишь для доказательства фактов, касающихся вещественных чисел и их подмножеств. В этом разделе мы применим аксиому непрерывности к множествам натуральных и целых чисел, получив в результате важные для дальнейшего следствия.

Сразу докажем следующую лемму.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о существовании максимума в ограниченном подмножестве $\mathbb N$)

Пусть $X \subset \mathbb N$ — непустое ограниченное множество. Тогда существует $\max X$.

• Доказательство. </aside>

В качестве следствия получим важный факт — факт неограниченности (сверху) множества натуральных чисел.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ] (о неограниченности множества натуральных чисел)

$\mathbb N$ — неограниченное сверху множество.

• Доказательство. </aside>

Аналогичные утверждения можно получить про целые числа.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ] (о подмножествах $\mathbb Z$ и о неограниченности $\mathbb Z$)

1. Пусть $X \subset \mathbb Z$ — непустое ограниченное сверху множество. Тогда существует $\max X$.
2. Пусть $X \subset \mathbb Z$ — непустое ограниченное снизу множество. Тогда существует $\min X$.
3. $\mathbb Z$ – неограниченное ни сверху, ни снизу множество.

• Доказательство. </aside>

Наверное, большинству из вас данные утверждения могут показаться, в некотором смысле, «смешными». Что же, доказательство этих утверждений целиком и полностью завязано на аксиоме непрерывности (точнее — на эквивантном принципе точной грани), и без нее в нашей канве установление описанных свойств было бы вряд ли возможным.

Теперь перейдем к важному для дальнейшего принципу Архимеда.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (принцип Архимеда)

Пусть $x \in \mathbb{R}$, $x > 0$. Тогда

$$ \forall y \in \mathbb R \ \exists! k\in \mathbb Z: \ \ (k - 1)x \leq y < kx. $$

• Доказательство. </aside>

Приведем геометрическую трактовку принципа Архимеда. Пусть, например, $y > 0$. Представим себе две «палки»: одну — длиной $x$, другую — длиной $y$. Принцип Архимеда говорит о том, что палку длиной игрек можно «замостить» палками длиной $x$, причем для этого потребуется не меньше $(k-1)$-ой палки, но меньше $k$ палок.

Следствия из принципа Архимеда

В этом пункте отметим некоторые следствия из принципа Архимеда, используемые в дальнейшем.

Сначала покажем, что число $\dfrac{1}{n}$ можно сделать «сколь угодно малым», выбрав $n\in \mathbb N$ надлежащим образом.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ]

$$ \forall \varepsilon>0 \ \exists n \in \mathbb N: \ \ 0 < \frac{1}{n} < \varepsilon. $$

• Доказательство. </aside>