В этом разделе мы поговорим, скажем честно, весьма неловко и куцо, о таком важном топологическом понятии как замкнутое множество. Свяжем это понятие с понятием множества предельных точек, изученного ранее. Подробнее об этом мы будем говорить в нашем курсе позднее.
Итак, начнем мы с понятия замкнутого множества.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие замкнутого множества)
Говорят, что множество $E \subset \mathbb{R}$ замкнуто в $\mathbb R$, если оно содержит все свои предельные точки в $\mathbb R$.
Говорят, что множество $E \subset \overline{\mathbb{R}}$ замкнуто в $\overline{\mathbb{R}}$, если оно содержит все свои предельные точки в $\overline{\mathbb {R}}$.
</aside>
Поясним введенное определение следующим образом. Напомним, что предельная точка для множества $E$ характеризуется тем, что в любой ее окрестности есть бесконечно много представителей множества $E$. Получается, что если эта точка не принадлежит множеству, то множество как бы «открыто» к приему ее в качестве своего элемента. Если же все предельные точки $E$ уже лежат в $E$, то $E$ не готово к приему новых элементов, и оно как бы «замкнуто».
В дальнейшем, при изучении функций многих переменных, будет дано другое, эквивалентное определение замкнутому множеству.
Приведем примеры.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть $E=[a, b]$. Так как $E'=[a,b]$ как в $\mathbb R$, так и в $\overline{\mathbb R}$, то $E$ — замкнутое как в $\mathbb R$, так и в $\overline{\mathbb R}$, множество.
Интервал $E=(a, b)$ и полуинтервал $E=[a, b)$ замкнутыми множествами ни в $\mathbb R$, ни в $\overline{\mathbb R}$ не являются, так как в обоих случаях и в обоих множествах $E'=[a, b]$.
Луч $E=[a, +\infty)$ является замкнутым множеством в $\mathbb R$, но не является замкнутым множеством в $\overline{\mathbb R}$, так как в последнем $E'=[a, +\infty]$.
Пустое множество $\varnothing$ и $\mathbb R$ замкнуты в $\mathbb R$, пустое множество $\varnothing$ и $\overline{\mathbb R}$ замкнуты в $\overline{\mathbb R}$.
В то же время, и это важно, $\mathbb R$ не замкнуто в $\overline{\mathbb R}$.
</aside>
Отметим следующее важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Любое конечное множество является, очевидно, замкнутым, так как множество его предельных точек пусто.
</aside>
Теперь получим важное в дальнейшем свойство замкнутого множества.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о существовании максимума (минимума) ограниченного замкнутого множества)
Любое непустое ограниченное сверху (снизу) замкнутое множество $E \subset \overline{\mathbb{R}}$ имеет максимальный (минимальный) элемент в $\mathbb R$.
Итак, у замкнутого ограниченного, скажем, сверху множества не может быть такого, что супремум ему не принадлежит. Это полезное свойство замкнутости еще не раз встретится нам в дальнейшем.
Отметим и следующее обобщающее замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Любое непустое неограниченное сверху (снизу) замкнутое множество $E \subset \overline{\mathbb{R}}$ имеет максимальный (минимальный) элемент в $\overline{\mathbb R}$, причем понятно какой: $+\infty$ ($-\infty$).
</aside>
Получим несколько следствий из данных леммы и замечания. Первое из них, впрочем, лишь демонстрирует применение разработанного аппарата, а на деле может быть доказано сильно проще.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ] (о наличии максимума и минимума у конечного множества)
Любое конечное множество имеет максимальный и минимальный элементы. В случае ограниченности сверху (снизу), максимальный элемент принадлежит $\mathbb R$, иначе — $\overline{\mathbb R}$.
