В этом пункте мы рассмотрим еще одно важное утверждение — лемму о предельной точке. Она, как и лемма Бореля—Лебега, окажется эквивалентной все той же аксиоме непрерывности.
Сначала аккуратно введем понятие предельной точки.
Примем следующее определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие предельной точки)
Точка $x_0 \in {\mathbb R}$ называется предельной точкой множества $E \subset {\mathbb R}$ в $\mathbb{R}$, если для любой окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$ множество $U(x_0) \cap E$ бесконечно.
Точка $x_0 \in \overline{\mathbb R}$ называется предельной точкой множества $E \subset \overline{\mathbb R}$ в $\overline{\mathbb{R}}$, если для любой окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$ множество $U(x_0) \cap E$ бесконечно.
Множество предельных точек множества $E$ будем обозначать $E'$.
</aside>
Сразу хочется отметить какую-то интуицию за приведенным определением. По сути, точка оказывается предельной точкой множества $E$, если сколь угодно близко от нее находится бесконечное число элементов $E$. Иными словами, она может получиться как предел элементов $E$. Сейчас мы не будем, да и не сможем строго пояснить последние слова, однако, надеемся, сможем зародить некоторую интуицию, кроющуюся за введенным понятием.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
То, в каком множестве рассматриваются предельные точки (в $\mathbb R$ или в $\overline{\mathbb R}$) будет либо ясно из контекста, либо будет указываться нами явно. Мы увидим отличия в примере ниже.
</aside>
Сразу приведем примеры, чтобы сделать введенное определение более прозрачным.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть $E = (0, 1]$. Тогда $E' = [0, 1]$.
Действительно, каждая точка $E$ является предельной для $E$ в силу определения полуинтервала. В то же время, точка $0 \notin E$ — тоже предельная для $E$, так как если $U(0) = (\alpha, \beta)$ — произвольная окрестность точки $0$, то
$$ U(0) \cap E = (\alpha, \beta) \cap (0, 1] = (0, \beta), $$
где последнее множество бесконечно.
Заметим, что множество предельных точек $E'$ в данном случае одинаково как в $\mathbb R$, так и в $\overline{\mathbb R}$.
</aside>
Отметим важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Предыдущий пример показывает, что предельные точки множества $E$ могут и не принадлежать этому множеству.
</aside>
Рассмотрим еще один пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть
$$ E = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ..., \frac{1}{n}, ... \right\}. $$
Тогда $E'=\{0\}$.
Действительно, никакая точка множества $E$ не является предельной для этого множества, ведь вокруг каждой точки этого множества можно построить окрестность, в которой будет содержаться лишь конечное число элементов множества $E$. Обязательно подумайте над конструктивным способом задания такой окрестности!
С окрестностями точки $0$, напротив, все наоборот. Если $U(0) = (\alpha, \beta)$ — произвольная окрестность точки $0$, то
$$ U(0)\cap E = \left\{\frac{1}{n}: \ \frac{1}{n} < \beta, \ n \in \mathbb N\right\}, $$
где последнее множество бесконечно.
Заметим, что и в данном случае множество предельных точек $E'$ одинаково как в $\mathbb R$, так и в $\overline{\mathbb R}$.
</aside>
Отметим важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Предыдущий пример показывает, что множество предельных точек множества $E$ может и вовсе не содержать элементов множества $E$.
</aside>
Приведем и еще один пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть
$$ E = [0, +\infty). $$
Здесь ситуация более деликатная, нежели ранее. Если мы рассматриваем предельные точки в $\mathbb R$, то как легко понять, $E'=E=[0, +\infty)$.
В то же время, если рассматривать предельные точки в $\overline{\mathbb R}$, то $E'=[0, +\infty]$.
</aside>
Конечно, точки, принадлежащие множеству, но не являющиеся его предельными точками, достойны отдельного определения.
