Понятия пути, кривой, скорее всего являются интуитивно понятными. Достаточно вспомнить (или вообразить) траекторию движения материальной точки, траекторию падения камня, брошенного под углом к горизонту, и многое-многое другое. Этот пункт посвящен обсуждению важных для анализа и приложений объектов — пути и кривой.
Итак, начнем с ключевого понятия — понятия пути.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие пути)
Путем в пространстве $\mathbb{R}^n$ называется отображение $\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n$, все координатные функции которого непрерывны на $[a, b]$.
</aside>
Отметим отдельно, что $\gamma$ — это так называемая вектор-функция скалярного аргумента: на вход этой функции подается одно число, а на выходе получаются $n$ чисел.
Такой тип отображения часто встречается, например, в физике. Скажем, отображение
$$ \gamma(t) = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t)\end{cases}, \quad t \in [t_0, t_1], $$
можно трактовать как положение материальной точки на плоскости $\mathbb R^2$ в момент времени $t \in [t_0, t_1]$. Можно приводить и другие аналогии.
Тут же отметим следующее замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Как следует из определения, путь $\gamma:[a, b] \to \mathbb R^n$ задается $n$ непрерывными функциями $x_i(t): [a, b] \to \mathbb{R}$, $i \in \{1, 2, ..., n\}$, а значит может быть (будучи вектор-функцией) представлен в виде вектора:
$$ \gamma(t) = (x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)), \quad t \in [a, b]. $$
</aside>
Следующее определение моментально вытекает хотя бы из геометрических соображений.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятия начала и конца пути)
Пусть $\gamma:[a, b] \to \mathbb R^n$. Точка $\gamma(a)$ называется началом пути, а точка $\gamma(b)$ — концом пути $\gamma$.
</aside>
Не менее логичным оказывается и следующее определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие замкнутого пути)
Пусть $\gamma:[a, b] \to \mathbb R^n$. Если $\gamma(a) = \gamma(b)$, то путь $\gamma$ называется замкнутым.
</aside>
Важным для дальнейшего оказывается понятие простого (или простого замкнутого) пути.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие простого пути)
Пусть $\gamma:[a, b] \to \mathbb R^n$. Если отображение $\gamma$ инъективно, то путь $\gamma$ называется простым.
Если инъективность нарушается только при $t = a$ и $t = b$ так, что $\gamma(a) = \gamma(b)$, то путь $\gamma$ называется простым замкнутым.
</aside>
Приведем примеры, иллюстрирующие сказанное.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Путь $\gamma(t) = t, \ t \in [0, 1]$ является простым незамкнутым путем, $\gamma(0) = 0$ — начало пути, $\gamma(1) = 1$ — конец пути. По сути, образ этого пути — отрезок $[0, 1]$.
</aside>
«Одни и те же» пути могут задаваться по-разному.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Путь $\gamma(t) = \sin t, \ t \in [0, \pi/2]$ — тоже простой незамкнутый путь, $\gamma(0) = 0$ — начало пути, $\gamma(\pi/2) = 1$ — конец пути. Образ этого пути — все тот же отрезок $[0,1]$.
</aside>
