В этом разделе мы обсудим базовые свойства, присущие последовательностям, имеющим предел.

Свойства последовательностей, имеющих предел

Сформулируем основной результат в виде следующей леммы.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (свойства последовательностей, имеющих предел)

Пусть $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = A$, тогда:

1. При $A \in \overline{\mathbb{R}}$ предел единственен.
2. При $A \in \mathbb{R}$ последовательность $x_{n}$ ограничена, то есть ограничено множество ее значений.
3. В любой окрестности $A \in \overline{\mathbb{R}}$ содержатся все элементы последовательности $x_{n}$, за исключением не более чем конечного числа.

Доказательство:

• 1.
• 2.
• 3. </aside>

Данная лемма нами будет то и дело использоваться. Вроде, в ней нет ничего необычного, но мы все-таки прокомментируем некоторые моменты и даже зададим вопросы.

1. В доказательстве первого пункта мы воспользовались тем, что любые два элемента $\overline{\mathbb R}$ имеют непересекающиеся окрестности. Так ли это? Если так, то как это доказать?
2. Этот пункт особенно очевиден с геометрической точки зрения. Все члены последовательности, начиная с какого-то момента, находятся в наперед заданной полосе, а значит они ограничены. Но до этого момента число членов конечно. Тогда, конечно, ограничена и вся последовательность.
3. Этот пункт, по сути, поясняется также, как и предыдущий.