Так как сходимость ряда эквивалентна наличию предела последовательности частичных сумм, то понятно, что возникает издавна нам известный критерий Коши.
Сформулируем основную теорему данного пункта.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерий Коши)
Ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ сходится тогда и только тогда, когда
$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb N: \ \forall n > n_0, \ \forall p \in \mathbb{N} \ \Rightarrow \ \left| \sum\limits_{k = n+1}^{n+p} a_k \right| < \varepsilon. $$
Итак, перед нами снова весьма известное утверждение, которое коротко, но не очень точно, по отношению к рядам может быть сформулировано следующим образом: ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого наперед заданного порога $\varepsilon$, начиная с некоторого момента любой «хвост» ряда будет меньше, чем $\varepsilon$.
Как обычно, критерий Коши чаще используется для доказательства расходимости ряда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ] (отрицание критерия Коши)
Запишем отрицание критерия Коши.
Ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ расходится тогда и только тогда, когда
$$ \exists \varepsilon > 0: \ \forall n_0 \in \mathbb N \ \exists n > n_0, \ \exists p \in \mathbb N : \left|\sum\limits_{k= n + 1}^{n + p} a_k \right| \geq \varepsilon. $$
</aside>
Теперь применим введенный критерий к исследованию важного ряда — гармонического.
Используя сформулированное отрицание критерия Коши, докажем расходимость важнейшего для дальнейшего изложения, так называемого гармонического ряда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (гармонический ряд)
Исследовать на сходимость (гармонический) ряд
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k}. $$
Положим в критерии Коши $p = n$ и рассмотрим следующую цепочку преобразований:
$$ \sum\limits_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n} \cdot n = \frac{1}{2}. $$
Согласно критерию Коши (или его отрицанию), ряд расходится.
</aside>
Итак, взяв $\varepsilon = 0.5$, для любого наперед заданного $n_0$, достаточно взять $n > n_0$ и $p = n$, чтобы сумма
$$ \sum\limits_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k} $$
была больше, чем $0.5$. Тем самым, мы попадаем в рамки отрицания критерия Коши, и рассматриваемый ряд расходится.
