В этом и последующих пунктах мы познакомимся с некоторыми специальными признаками сходимости рядов, а также с принципами их построения.
В этом пункте мы рассмотрим так называемый радикальный признак Коши. Советуем обратить на него пристальное внимание, мы к нему не раз еще вернемся, в частности при изучении степенных рядов.
Итак, сформулируем сам признак.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признак Коши)
Пусть $a_k > 0$ и
$$ \underset{k \to \infty}{\overline{\lim}} \sqrt[k]{a_k} = l \in [0, + \infty]. $$
Тогда:
Доказательство:
Естественно, возникает вопрос, а как поступать в случае когда $l=1$. Этот вопрос «снимается» следующим замечанием.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
В случае, когда
$$ \underset{k \to \infty}{\overline{\lim}} \sqrt[k]{a_k} = 1, $$
вопрос о сходимости ряда остается открытым. Действительно, для рядов
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k} \quad \text{ и } \quad \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} $$
рассматриваемый предел равен единице, однако первый ряд расходится, а второй — сходится.
</aside>
Отметим и еще одно полезное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Как было показано в доказательстве первого пункта радикального признака Коши, в случае $l > 1$ общий член $a_k$ ряда не стремится к нулю, то есть не выполнено даже необходимое условие сходимости ряда.
Более того, если известно, что
$$ 1 < l = \lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{a_k}, $$
то легко показать, что $a_k \xrightarrow[k \to \infty]{} +\infty$.
</aside>
Теперь обратим внимание читателей на то, а с чем же «качественно» сравнивает общий член ряда признак Коши.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Как видно из доказательства, признак Коши — завуалированный признак сравнения с геометрической прогрессией.
</aside>
После этого замечания, скорее всего, должно стать понятнее, почему ряд Дирихле невозможно исследовать с помощью признака Коши — поведения степенной и показательной функций сильно разнятся.
Теперь обсудим «родственника» признака Коши — признак Даламбера.
Сразу сформулируем основную теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признак Даламбера)
Пусть $a_k > 0$ и
$$ \lim\limits_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = l \in [0, +\infty]. $$
Тогда:
Доказательство:
Снова сделаем несколько полезных замечаний.
