В этом разделе мы обсудим простейшие свойства сходящихся рядов. По своей сути, все они вытекают из вполне аналогичных свойств сходящихся последовательностей.
В этом пункте мы установим интуитивно понятный факт, который, однако, нарушался при рассмотрении несобственных интегралов, а именно факт того, что общий член сходящегося ряда стремится к нулю на бесконечности. Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, то как же «хвост» ряда может быть сколь угодно мал?
Сформулируем утверждение строго.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (необходимое условие сходимости ряда)
Пусть ряд с общим членом $a_k$ сходится. Тогда
$$ a_k \xrightarrow[k \to + \infty]{} 0. $$
Отметим и следующее важное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Обратное утверждение к утверждению, сформулированному в теореме, вообще говоря неверно. Общий член расходящегося ряда может стремиться к нулю на бесконечности, что мы видели на примере гармонического ряда.
</aside>
Теперь обратимся к еще одному объекту, ассоциируемому с рядами — к остатку ряда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие остатка)
Пусть дан ряд с общим членом $a_k$. Тогда
$$ R_m = \sum\limits_{k = m + 1}^{\infty} a_k, \quad m \in \mathbb N \cup \{0\}, $$
называется $m$-ым остатком ряда.
</aside>
Мотивировка введенного понятия должна быть прозрачна, ведь для любого $m \in \mathbb N$ хочется записать
$$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k = S_m + R_m, $$
где $S_m$ — $m$-ая частичная сумма ряда, $R_m$ — $m$-ый остаток. Конечно, существование сумм написанных объектов (читай — рядов) нуждается в некотором пояснении, чем мы сейчас и займемся.
Итак, сформулируем теорему о сходимости ряда в терминах остатков этого ряда.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (сходимость ряда в терминах остатков)
Для сходимости ряда с общим членом $a_k$ необходимо и достаточно, чтобы сходился любой его остаток $R_m$. В этом случае
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = \sum\limits_{k = 1}^m a_k + R_m = S_m + R_m. $$
Отметим и следующее очевидное замечание.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
На самом деле, в плане достаточности предыдущее утверждение можно ослабить: для сходимости исходного ряда достаточно, чтобы сходился какой-то из остатков $R_m$. Впрочем, из этого сразу следует и сходимость любого остатка.
</aside>
Отметим еще одно полезное утверждение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о стремлении остатка ряда к нулю)
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
$$ \lim\limits_{m \to \infty} R_m = 0. $$
Доказательство:
