В приложениях часто оказывается важным не само значение несобственного интеграла, а вывод о его сходимости. Как показывает практика, часто этот вопрос оказывается совершенно нетривиальным. В этом разделе мы рассмотрим одну из наиболее простых ситуаций — ситуацию, когда подынтегральная функция не меняет знак. В этом случае вопрос (глобально) решается просто-напросто при помощи теоремы Вейерштрасса, а все рассуждения опираются на рассуждениях о площадях.
Итак, докажем основную теорему, являющуюся, по сути, переформулированной теоремой Вейерштрасса для интересущего нас случая.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерий сходимости интеграла от неотрицательной функции)
Пусть $f \in R_{loc}[a, b)$, $f \geq 0$. Тогда функция
$$ F(\omega) := \int\limits_a^\omega f \ dx, \quad \omega \in [a, b), $$
не убывает, а сходимость интеграла
$$ \int\limits_a^b f\ dx $$
равносильна ограниченности функции $F(\omega)$.
Итак, теорема утверждает, что интеграл от неотрицательной функции сходится тогда и только тогда, когда площадь под графиком функции ограничена.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Понятно, что аналогичную теорему можно сформулировать и для неположительной функции. Впрочем, одна к другой сводится просто вынесением знака минус за интеграл. Мы и в дальнейших теоремах остановимся на рассмотрении лишь неотрицательных функций.
</aside>
Теперь перейдем к изучению так называемых признаков сравнения.
Сформулируем основную теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признаки сравнения)
Пусть $f, g \in R_{loc}[a, b)$ и $0 \leq f \leq g$ при $x \in [a, b)$. Тогда:
$$ \int\limits_a^b g \ dx < + \infty \ \Rightarrow \ \int\limits_a^b f \ dx < +\infty. $$
$$ \int\limits_a^b f \ dx = +\infty \ \Rightarrow \ \int\limits_a^b g \ dx = +\infty. $$
Доказательство:
Приведенная теорема имеет понятное геометрическое толкование:
- первый пункт утверждает, что если площадь под графиком большей (неотрицательной) функции конечна, то и площадь под графиком меньшей (неотрицательной) функции конечна;
- второй пункт, наоборот, из бесконечности площади под графиком меньшей (неотрицательной) функции делает заключение о бесконечности площади под графиком большей (неотрицательной) функции;
- третий пункт проиллюстрировать несколько сложнее: эквивалентность функций позволяет «зажать» снизу и сверху площадь под графиком одной из (неотрицательных) функций около «особой» точки площадью под графиком второй из (неотрицательных) функций, умноженной на некоторые константы. Это влечет одновременную конечность или бесконечность площадей. Впрочем, если проанализировать доказательство теоремы, то в нем ровно это и сказано, правда, не словами.
Приведем примеры использования доказанной теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Исследовать на сходимость интеграл
$$ \int\limits_1^{+\infty} \frac{x}{\sqrt[3]{1 + x^7}} \ dx. $$
Ясно, что у этого интеграла особенность на верхнем пределе — это $+\infty$. Заметим, что функция под интегралом положительна и упростим подынтегральную функцию при $x \to + \infty$:
$$ \frac{x}{\sqrt[3]{1 + x^7}} = \frac{x}{x^{7/3}\sqrt[3]{1/x^{7} + 1}} \sim \frac{x}{x^{7/3}} = \frac{1}{x^{4/3}}. $$
Так как интеграл
$$ \int\limits_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}} $$
сходится, то, по 3 пункту теоремы о признаках сравнения, сходится и исходный интеграл.
</aside>
Приведем еще один пример.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Исследовать на сходимость интеграл
$$ \int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \ dx. $$
На первый взгляд может показаться, что у данного интеграла две особенности: в точках $0$ и $+\infty$. Однако, это не так. В окрестности нуля функция ограничена и интеграл имеет смысл рассматривать как собственный. Значит, осталось выяснить поведение интеграла на $+\infty$. Перепишем интеграл в виде
$$ \int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx = \int\limits_0^{1} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx + \int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx $$
и исследуем на сходимость второй. Функция под интегралом неотрицательна, можно пользоваться признаками сравнения. Так как
$$ 0 \leq \frac{\sin^2 x}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}, $$
а интеграл от последней функции по $[1, +\infty)$ сходится, то сходится и исходный интеграл.
</aside>
Переформулируем доказанную теорему в несколько ином виде.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ]
Пусть $f, g \in R_{loc}[a, b)$ и $f, g \geq 0$ на $[a, b)$. Если $f(x) = O(g(x))$ при $x \to b-0$, то:
Сходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$ влечет сходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$, то есть
$$ \int\limits_a^b g \ dx < + \infty \ \Rightarrow \ \int\limits_a^b f \ dx < +\infty. $$
Расходимость интеграла от $f$ по $[a, b)$ влечет расходимость интеграла от $g$ по $[a, b)$, то есть
$$ \int\limits_a^b f \ dx = + \infty \ \Rightarrow \ \int\limits_a^b g \ dx = + \infty. $$
