31. Признаки Куммера, Раабе, Бертрана и Гаусса

В этом разделе мы рассмотрим более тонкие признаки сходимости, а также способ построения признаков сколь угодно «сильной» тонкости.

Признак Куммера

Для создания произвольного числа признаков разной тонкости полезна следующая теорема.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признак Куммера)

Пусть $a_k, b_k >0$, и ряд

$$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{b_k} $$

расходится. Пусть, кроме того,

$$ \lim\limits_{k \to \infty} \left(b_k \frac{a_k}{a_{k+1}} - b_{k+1} \right) = l \in \overline{\mathbb R}. $$

Тогда:

Если $l > 0$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится.
Если $l < 0$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится.

Доказательство:

1.
2. </aside>

Отметим следующее замечание.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Полезно заметить, что расходимость ряда

$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{b_k} $$

использовалась только при доказательстве второго пункта теоремы — пункта, в котором устанавливается расходимость ряда с общим членом $a_k$.

</aside>

Заметим также, что признак Даламбера — частный случай признака Куммера.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Если в признаке Куммера положить $b_k = 1$, то получится признак Даламбера.

</aside>

К этому замечанию можно дать такое неформальное пояснение. В доказательстве второго пункта в признаке Куммера мы явно использовали признак сравнения с рядом с общим членом $b_k^{-1}$. Так как $b_k^{-1} = 1^k$ — «пограничный» общий член при рассмотрении ряда геометрической прогрессии, то его и разумно использовать для формирования признака «завуалированного» сравнения с рядом геометрической прогрессии. Это еще раз показывает, что признак Даламбера — это признак сравнения с рядом геометрической прогрессии.

Признак Раабе

Теперь научимся сравнивать ряды с рядом Дирихле.

Пусть $a_k > 0$ и

$$ \lim\limits_{k \to \infty}k\left(\frac{a_k}{a_{k + 1}} - 1\right) = l \in \overline{\mathbb R}. $$

Тогда:

Если $l > 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится.
Если $l < 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится.

Доказательство. </aside>

Признак Бертрана

Отметим еще один полезный признак, позволяющий сравнивать ряды с рядом с общим членом

$$ a_k = \frac{1}{k \ln^\beta k}, \quad \beta \in \mathbb R. $$

Пусть $a_k > 0$ и

$$ \lim\limits_{k \to \infty} \ln k \left(k\left(\frac{a_k}{a_{k + 1}} - 1\right) - 1 \right) = l \in \overline{\mathbb R}. $$

Тогда:

Если $l > 1$, то ряд с общим членом $a_k$ сходится.
Если $l < 1$, то ряд с общим членом $a_k$ расходится.

Доказательство. </aside>