5. Следствия из аксиом множества вещественных чисел

В этом разделе мы поговорим про те следствия, которые можно получить, базируясь на введенных нами аксиомах множества вещественных чисел. Мы увидим, что все те правила, которые использовались в школе при обращении, например, с неравенствами, теперь будут выведены как теоремы. Одной из ключевых задач для нашего изложения будет задача ответить на вопрос, а что больше: $0$ или $1$?

Следствия аксиом сложения

Итак, будем постепенно раскручивать аксиомы и следствия из них. Начнем с аксиом сложения.

Сначала докажем, что нейтральный элемент (по сложению) единственен.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (о единственности нуля)

В множестве $\mathbb{R}$ ноль (нейтральный элемент по сложению) единственен.

Доказательство. </aside>

Теперь докажем, что противоположный элемент единственен.

В множестве $\mathbb{R}$ каждый элемент имеет единственный противоположный.

Доказательство. </aside>

Докажем еще одну полезную лемму.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ]

В множестве $\mathbb{R}$ уравнение $x + a = b$ имеет единственное решение $x = b + (-a)$ при любых $a,b \in \mathbb R$.

Доказательство. </aside>

Отметим, что фразу «прибавляя к обеим частям равенства $-a$» стоит понимать следующим образом: так как $x + a = b$, то $(x + a) + (-a) = b + (-a)$.

Отметим и следующее, напрашивающееся из нашего опыта, определение.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие разности)

Разностью элементов $a \in \mathbb R$ и $b \in \mathbb R$ назовем элемент

$$ a + (-b) \in \mathbb R. $$

Операция по получению разности часто называется вычитанием.

</aside>

Для краткости мы часто в дальнейшем будем вместо $a + (-b)$ писать $a-b$.

Следствия аксиом умножения

Теперь поговорим про следствия аксиом умножения.

Сформулируем основной результат в одной лемме.

В множестве $\mathbb{R}$ единица (нейтральный элемент по умножению) единственна.
В множестве $\mathbb{R} \setminus 0$ каждый элемент имеет единственный обратный.
В множестве $\mathbb{R}$ уравнение $a \cdot x = b$ при $a \neq 0$ имеет единственное решение $x = b \cdot a^{-1}$.

Доказательство. </aside>