В этом разделе мы обсудим основные числовые множества: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, а также их свойства.
В этом разделе мы формально определим множество натуральных чисел, то есть чисел $1, 2, 3, ...$ Погодите, а что такое $2, 3, ...$?
Всем известно, что числа вида $1$, $(1 + 1)$, $((1 + 1) + 1)$, и так далее обозначают $1, 2, 3$, и так далее, соответственно. Продолжение какого-то процесса далеко не всегда однозначно, поэтому слова «и так далее» нуждаются в пояснении.
Дадим следующее определение.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие индуктивного множества)
Множество $X \subset \mathbb{R}$ называется индуктивным, если
$$ \forall x \in X \ \ (x + 1) \in X. $$
</aside>
Итак, индуктивные множества — это множества, которые вместе с элементом $x$ содержат и элемент $(x+1)$. Известные из школы множества натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел индуктивны.
Оказывается, что справедлива следующая лемма.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/serial-tasks--v2.gif" width="40px" /> [ Лемма ] (об индуктивности пересечения семейства индуктивных множеств)
Пусть $X_{\alpha}$, $\alpha \in A$, — семейство индуктивных множеств. Тогда
$$ \bigcap\limits_{\alpha \in A} X_{\alpha}, $$
если это пересечение не пусто, является индуктивным множеством.
Теперь можно дать определение множеству натуральных чисел.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие множества натуральных чисел)
Множеством натуральных чисел называется пересечение всех индуктивных множеств, содержащих число $1$.
Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$.
</aside>
Понятно, что данное определение корректно. Во-первых, индуктивные множества, содержащие $1$, существуют, например $\mathbb R$. Во-вторых, раз рассматривается пересечение индуктивных множеств, содержащих единицу, то оно не пусто, так как содержит хотя бы $1$.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Из данного определения, в частности, следует, что множество натуральных чисел — наименьшее индуктивное множество, содержащее единицу. Попробуйте обосновать это самостоятельно.
</aside>
Из определения множества натуральных чисел сразу следует важный принцип, называемый принципом математической индукции. Именно он часто обосновывает слова «и так далее».
