В этом разделе мы рассмотрим формулу Ньютона—Лейбница, выражающую интеграл Римана через значения первообразной подынтегральной функции. Эту формулу часто называют основной формулой (теоремой) интегрального исчисления.
Ниже приведена основная формула интегрального исчисления.
В виду важности последних, отметим отдельно теорему Ньютона—Лейбница для интегралов от непрерывных функций.
Итак, сразу сформулируем теорему.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (формула Ньютона—Лейбница для интегралов от непрерывных функций)
Пусть $f \in C[a, b]$ и $F$ — ее первообразная. Тогда
$$ \int\limits_a^b f \ dx = F(b) - F(a). $$
Отметим несколько важных замечаний.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Отметим, что формула Ньютона—Лейбница справедлива для любой первообразной подынтегральной функции, и что значение интеграла не зависит от выбора этой первообразной. Действительно, если выбрана первообразная $F(x) + C$, то
$$ F(b) - F(a) = F(b) + C - F(a) - C. $$
</aside>
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Часто вводят следующее обозначение, называемое двойной подстановкой:
$$ F \ \Big|_a^b := F(b) - F(a). $$
Используя это соотношение, запись формулы Ньютона—Лейбница часто можно встретить в следующем виде:
$$ \int\limits_a^b f \ dx = F \ \Big|_a^b. $$
</aside>
Приведем пример использования данной теоремы и вычислим интеграл от функции, с которой мы начали наше повествование.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Вычислить интеграл
$$ \int\limits_0^1 x^2 \ dx. $$
Используя формулу Ньютона—Лейбница, получим
$$ \int\limits_0^1 x^2 \ dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3}. $$
</aside>
Формула Ньютона—Лейбница справедлива не только для непрерывных подынтегральных функций.
Результат этого пункта обобщает полученное в предыдущем пункте. Сформулируем его.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (усиленная формула Ньютона--Лейбница)
Пусть $f \in R[a, b]$ и $F$ — некоторая первообразная $f$ на $[a, b]$, тогда
$$ \int\limits_a^b f \ dx = F(b) - F(a). $$
Отметим замечание, аналогичное сделанному ранее.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Доказанная формула Ньютона—Лейбница справедлива для любой первообразной интегрируемой функции, и значение интеграла не зависит от выбора этой первообразной.
</aside>
