Если в каждом из двух множеств лишь конечное число элементов, то эти множества можно сравнить по количеству этих самых элементов. Логично считать, что то множество оказывается «мощнее», в котором количество элементов больше. Если же количество элементов в двух множествах одинаково, то множества разумно считать «равномощными».
А что, если количество элементов в множестве бесконечно? Как сравнить «по мощности» два бесконечных множества? Всегда ли бесконечности одинаковы? Именно это мы подробно обсудим в этом разделе.
Часто бывает важным выяснить, «одинаково» ли количество элементов в двух разных множествах. В случае конечных множеств этот вопрос может быть решен весьма просто: достаточно пересчитать элементы каждого множества. Проблема заключается в том, что описанный подход не применим к бесконечным множествам.
В то же время, если два конечных множества $A$ и $B$ имеют одинаковое количество элементов, то между элементами этих множеств можно установить биекцию $\varphi: A \to B$. Такой подход «сравнения» двух множеств уже прекрасно применим и к бесконечным множествам.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие эквивалентности множеств)
Говорят, что множества $A$ и $B$ равномощны (эквивалентны), если существует биекция $\varphi: A \to B$.
</aside>
Иными словами, множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Приведем несколько примеров.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Противоположные стороны прямоугольника равномощны: достаточно точкам одной стороны сопоставить соответствующие (лежащие напротив) точки противоположной стороны.
</aside>
Наверное, этот пример не кажется нам удивительным , ведь противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Что же, одинаковость длины не является необходимым условием равномощности.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Гипотенуза прямоугольного треугольника равномощна каждому из его катетов (хотя они и имеют разные длины). Взаимно однозначное соответствие можно построить проектированием точек гипотенузы на катет (параллельно другому катету).
</aside>
Приведем и еще несколько стандартных примеров.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Множество натуральных чисел $\mathbb N$ и множество целых чисел $\mathbb Z$ равномощны. Биекция может быть установлена, например, следующим образом:
$$ 1 \to 0, \ 2 \to 1, \ 3 \to -1, \ 4 \to 2, \ 5 \to -2, \ ... , \ 2k \to k, \ 2k + 1 \to -k, ... $$
или
$$ \varphi(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2}, & n \text{ четно} \\ \\ \dfrac{1 - n}{2}, & n \text{ нечетно} \end{cases}, \quad n \in \mathbb N. $$
</aside>
Последний пример может сначала сильно удивить. Ведь мы установили равномощность множества натуральных чисел и множества чисел, которых более, чем «в два раза больше». Но в этом и заключается интерес при работе с бесконечностями.
Ситуация может стать и еще хитрее. В примере выше неограниченное множество оказалось равномощно неограниченному. Это — тоже не панацея.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]
Пусть центр окружности радиуса $R > 0$ имеет координаты $(0, R)$. Тогда часть окружности без точки $N(0, 2R)$ равномощна координатной оси $Ox$ или, что то же самое, множеству вещественных чисел $\mathbb R$.
Для установления взаимно однозначного соответствия, достаточно точке $A$ на оставшейся части окружности сопоставить точку $A'$ оси $Ox$, получающуюся пересечением луча $NA$ и $Ox$ (стереографическая проекция). Попробуйте написать аналитическое выражение для описанного соответствия самостоятельно.
</aside>
Последний из приведенных нами примеров показывает, что бесконечное ограниченное множество может быть равномощно неограниченному множеству.
Оказывается, введенное отношение равномощности является отношением эквивалентности.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие отношения эквивалентности)
Отношение $\sim$ между элементами некоторого множества называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
Элементы, находящиеся в отношении $\sim$, называются эквивалентными.
</aside>
Примеры отношений эквивалентности, известные из школы, например, таковы: отношение равенства на множестве треугольников, отношение подобия на множестве треугольников, отношение параллельности на множестве прямых, и многие другие.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Мы уже не раз встречали понятие отношения, но так нигде и не дали строгого определения этому понятию. Все потому, что обычно отношения изучаются в курсе алгебры и (или) дискретной математики. Все же, чтобы не быть голословными, приведем формальное определение.
Пусть заданы множества $X_1, \ \ldots, X_n$. Подмножество
$$ R \subset X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n $$
называется $n$-арным отношением на множествах $X_1,\ \ldots, X_n$.
Говорят, что элементы
$$ x_1\in X_1, \ x_2 \in X_2, \ \ldots, \ x_n \in X_n $$
связаны отношением $R$, если $(x_1, x_2, \ \ldots, x_n) \in R$.
Мы говорили и говорим о бинарных отношениях — отношениях, заданных на декартовых произведениях двух множеств. При рассмотрении бинарных отношений факт того, что $(x_1, x_2) \in R$ часто записывают так:
$$ x_1 \ R \ x_2. $$
Именно поэтому мы используем символы $\sim$, $\leq$, располагая их «между» соответствующими элементами (одного и того же) множества.
</aside>
