17. Понятие предела последовательности

В этом разделе мы введем фундаментальное для дальнейшего понятие — понятие предела последовательности. На этом понятии будет базироваться все дальнейшее изложение как в курсе математического анализа, так и в различных его приложениях.

Понятие последовательности

Перед тем как ввести понятие предела последовательности, обсудим что такое последовательность сама по себе.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/define-location--v2.gif" width="40px" /> [ Определение ] (понятие последовательности)

Функция $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R$ называется последовательностью.

</aside>

Развернуто, но не менее точно можно сказать, что последовательность — это функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел $\mathbb N$. Эту функцию можно рассматривать как бесконечную «очередь чисел», поэтому часто говорят о члене последовательности с таким-то номером.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Обычно последовательности обозначают маленькими латинскими буквами, например $x(n)$, $y(n)$, причем чаще всего аргумент $n$ пишется снизу, например $x_{n}$, $y_n$. Мы тоже будем придерживаться этого общепринятого соглашения.

</aside>

Приведем и какой-нибудь пример использования новых обозначений.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]

Рассмотрим последовательность

$$ x_n=\frac{1}{n} $$

и выпишем ее первый, седьмой и пятнадцатый члены. Они таковы:

$$ x_1=1, \quad x_7=\frac{1}{7},\quad x_{15}=\frac{1}{15}. $$

Для последовательности

$$ y_n=(-1)^n $$

все члены с четными (и, аналогично, с нечетными) номерами равны между собой, ведь

$$ y_2=y_4= ... = y_{2k} = ... = 1, \quad y_1 = y_3 = ... = y_{2k-1} = ... = -1, \quad k \in \mathbb N. $$

</aside>

Понятие предела последовательности «по Коши»

На примерах выше мы видим, что вычисление значения какого-то конкретного члена последовательности, если последовательность задана явно, дело достаточно механическое и безыдейное: подставить и считать. Куда интереснее научиться отвечать на вопрос: а какая у последовательности «тенденция»? Что происходит, если аргумент $n$ неограниченно растет? Так мы приходим к понятию предела.

Число $A$ называется пределом последовательности $x_n$, если

$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \ \forall n > n_0 \ \ |x_n - A| < \varepsilon. $$

Обозначают это так:

$$ \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = A, \quad x_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}A, \quad x_n \longrightarrow A. $$

</aside>

Один раз пропишем только что данное определение словами.

Число $A$ называется пределом последовательности $x_{n}$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ существует натуральное число $n_0$, зависящее от $\varepsilon$ такое, что какое бы ни взять натуральное число $n$, большее $n_0$, будет выполняться неравенство

$$ |x_n - A| < \varepsilon. $$

В доказательствах мы, конечно, будем использовать символьную запись определения предела.

Определение предела — очень сложное понятие. Важно уяснить его геометрический смысл.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]

Геометрически определение предела последовательности означает, что какую бы полосу шириной $2\varepsilon$ вокруг точки $A$ ни взять (смотри рисунок), найдется номер $n_0$, что все члены последовательности с номерами, большими $n_0$, лежат в этой полосе.

Ясно, что при уменьшении $\varepsilon$, уменьшается ширина полосы, а номер $n_0$, вообще говоря, увеличивается.

</aside>

Давайте еще раз подчеркнем два важных момента, на которых часто (и, впрочем, справедливо) «спотыкается» наше понимание:

В определении предела требуется, чтобы номер $n_0$ такой, что для всех последующих номеров $n$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$, находился для каждого $\varepsilon$, а не для какого-то конкретного. Конечно, $n_0$, вообще говоря, свой для каждого $\varepsilon$.

В определении, конечно, не сказано, что нас интересуют «сколь угодно малые» значения $\varepsilon$, но это имеется в виду: мы же и правда хотим понять, приближаются ли члены последовательности сколь угодно близко к рассматриваемому числу, или нет.

Ну и совсем неформально определение, видимо, может быть переложено на человеческий язык так. Число $A$ будет пределом $x_n$, если как бы мало от этого числа не отступить вниз (вверх), начиная с какого-то момента все члены последовательности будут больше (меньше), чем полученное при отступлении значение.

Приведем примеры.

<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ]

Рассмотрим последовательность

$$ x_n = \frac{1}{n}. $$

Так как

$$ x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{2}, \quad x_3 = \frac{1}{3}, $$

и вообще, каждый следующий член оказывается меньше предыдущего, а знаменатель неограниченно растет, то, наверное, хочется сказать, что

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. $$

Докажем это, используя определение.

Пусть $\varepsilon > 0$. Нужно найти такое натуральное число $n_0$, что при всех натуральных $n > n_0$ будет выполняться

$$ \left|\frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{n} < \varepsilon. $$

Последнее неравенство выполняется для всех таких $n$, что

$$ n > \frac{1}{\varepsilon}. $$

Значит, положив

$$ n_0 = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right], $$

при $n > n_0$ имеем

$$ n \geq n_0+1 = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right] + 1 > \frac{1}{\varepsilon} \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{n} < \varepsilon, $$

что влечет требуемое. В силу произвольности числа $\varepsilon$, доказано, что

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. $$

</aside>