В этом разделе мы, по сути, повторим те признаки сравнения, которые были подробно рассмотрены в аналогичной теме, касающейся несобственных интегралов.
Как и в случае с несобственными интегралами, при рассмотрении сходимости рядов очень редко удается сделать это, как говорится, по определению. Все потому, что частичные суммы ряда редко удается «схлопнуть» в некоторую компактную форму, из которой сразу очевидны сходимость или расходимость. В то же время, для применения численных методов суммирования рядов важно знать: сходится ряд или нет. Поэтому здесь и в последующих пунктах мы займемся изучением признаков сходимости рядов. Сначала — признаков сходимости рядов с неотрицательными членами.
Как и в случае несобственных интегралов, признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами опираются на следующую адаптацию теоремы Вейерштрасса — критерия сходимости монотонной последовательности.
Начнем с основной для этого раздела теоремы.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (критерий сходимости ряда с неотрицательными членами)
Пусть $a_k \geq 0$. Тогда последовательность частичных сумм ряда
$$ S_n := \sum\limits_{k = 1}^n a_k $$
не убывает и
$$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k = \sup_{n \in \mathbb{N}} S_n. $$
Тем самым, сходимость ряда равносильна ограниченности последовательности его частичных сумм.
Итак, сходимость ряда с неотрицательными членами равносильна ограниченности последовательности частичных сумм данного ряда, а сумма ряда равна супремумуму этой последовательности.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/information--v2.gif" width="40px" /> [ NB ]
Понятно, что аналогичную теорему можно сформулировать и для рядов с неположительными членами. Впрочем, одна к другой сводится просто вынесением знака минус за интеграл. Мы и в дальнейших теоремах остановимся на рассмотрении лишь рядов с неотрицательными членами.
</aside>
Теперь перейдем к уже знакомым нам признакам сравнения.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/mind-map--v2.gif" width="40px" /> [ Теорема ] (признаки сравнения)
Пусть $0 \leq a_k \leq b_k$. Тогда:
Сходимость ряда с общим членом $b_k$ влечет сходимость ряда с общим членом $a_k$, то есть
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k < + \infty \ \Rightarrow \ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k < +\infty. $$
Расходимость ряда с общим членом $a_k$ влечет расходимость ряда с общим членом $b_k$, то есть
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = +\infty \ \Rightarrow \ \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k = +\infty. $$
Доказательство:
Приведенная теорема, как нам кажется, должна быть интуитивно понятна:
- первый пункт утверждает, что если сходится ряд, слагаемые в котором больше, то сходится и ряд, слагаемые в котором меньше;
- второй пункт утверждает, что если расходится ряд с меньшими слагаемыми, то расходится и ряд с большими слагаемыми;
- третий пункт говорит о том, что если общие члены при больших $k$ ведут себя «похожим образом», то и ряды с этими общими членами ведут себя одинаково: либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/roller-skating--v2.gif" width="40px" /> [ Пример ] (ряд Дирихле)
Исследовать на сходимость ряд (обобщенный гармонический ряд, ряд Дирихле):
$$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^\alpha}. $$
Как мы уже знаем, при $\alpha = 1$ ряд Дирихле — гармонический ряд, а значит он расходится. Так как при $\alpha < 1$ выполняется неравенство
$$ \frac{1}{k^\alpha} \geq \frac{1}{k}, $$
то, согласно признакам сравнения, при $\alpha < 1$ ряд Дирихле расходится.
Пусть $\alpha > 1$, на отрезке $[n, n+1]$, $n \in \mathbb{N}$, рассмотрим функцию $x^{1 - \alpha}$. По теореме Лагранжа,
$$ \frac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} - \frac{1}{n^{\alpha-1}} = -\frac{\alpha-1}{\xi^{\alpha}}, \quad \xi \in(n, n+1). $$
Но тогда
$$ \frac{1}{n^{\alpha - 1}} - \frac{1}{(n+1)^{\alpha - 1}} = \frac{\alpha - 1}{\xi^\alpha} \geq \frac{\alpha - 1}{(n+1)^\alpha}. $$
Суммируя неравенства по $n \in \{1, 2, ..., k\}$, получим
$$ \frac{1}{\alpha - 1} \left(1 - \frac{1}{(k + 1)^{\alpha - 1}} \right) \geq \sum\limits_{n = 1}^k \frac{1}{(n+1)^\alpha}. $$
Так как
$$ \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\alpha - 1}\left(1 - \frac{1}{(k + 1)^{\alpha - 1}} \right) = \frac{1}{\alpha - 1}, $$
то, согласно признаку сравнения заключаем, что ряд
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^\alpha} $$
сходится, а значит сходится и ряд Дирихле. Итого,
$$ \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \longleftrightarrow \begin{cases} \text{сходится}, & \alpha > 1 \\ \text{расходится}, & \alpha \leq 1 \end{cases}. $$
</aside>
Как и при рассмотрении интегралов, переформулируем теорему о признаках сравнения в несколько ином виде.
<aside> <img src="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" alt="https://img.icons8.com/ios/5000/000000/arrow--v2.gif" width="40px" /> [ Следствие ]
Пусть $a_k, b_k \geq 0$. Если $a_k = O(b_k)$ при $k\to\infty$, то:
Сходимость ряда с общим членом $b_k$ влечет сходимость ряда с общим членом $a_k$, то есть
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k < + \infty \ \Rightarrow \ \sum\limits_{k=1}^\infty a_k < +\infty. $$
Расходимость ряда с общим членом $a_k$ влечет расходимость ряда с общим членом $b_k$, то есть
$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = + \infty \ \Rightarrow \ \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k = + \infty. $$
На практике оказывается полезной и следующая теорема.
